Une limite

[Dacu]

Bonjour tout le monde,

Trouver la limite de où * .

Cordialement,

Dacu

[Dacu]

Bonjour tout le monde,

Certains disent que la limite est différente de zéro...Comment calcule-t-on cette limite?Merci très beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[Dattier]

Bonjour,

Trouver la limite de où * .

On réalise une transformé d'Abel :
on a et

Donc

D'où la limite de est nulle.

Bonne journée.

[Dattier]

Pour la transformée d'Abel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties

[aviateur]

Bonjour,

Trouver la limite de où * .

On réalise une transformé d'Abel :
on a et

Donc

D'où la limite de est nulle.

Bonne journée.

Bonjour
Je trouve vraiment cette démonstration bizarre. D'ailleurs si on prend ceci:

J'ai un doute. A la louche comme ça (prendre k=n/2 pour voir)

Néanmoins, je trouve que la limite de est bien égale à 0 et avec un argument élémentaire.

[Dattier]

Oupss ! Oui, tu as raison.

[aviateur]

Pour la démonstration on rassemble les termes 2 par 2 qui ont un sinus opposé.
Ainsi chaque terme en face du sinus est un o(1/n^2). Donc la somme est un o(1/n).

[Dattier]

Il me semble que cela ne marche pas par exemple :
On suppose pair :

[Dattier]

Il me semble que cela ne marche pas par exemple :
On suppose pair :

[Dattier]

Finalement cela ne fait pas 0.

[Dattier]

Finalement la limite est

[aviateur]

Bonjour
Bon j'avais pas trop le temps hier soir pour dire un peu ce que dit LB2: un raisonnement approximatif ne justifie pas le résultat. D'abord concernant ce que j'avais dit on n'a pas un mais suremeent o(1/n) pour
1. donc d'accord n'est pas un o(1).

Alors il faut continuer :

2. Mais si on fait comme toi, pour un k fixé on a

(*)
mais là où ça va plus c'est que k prend les valeurs jusque n/2 (et pour toi n). En quelque sorte k dépend de n.
Alors la suite du raisonnement ne tient pas la route.

Alors il faut continuer, il faut montrer justifier l'identité (*) rigoureusement. A mon avis si elle est vraie on arrive à la limite que tu donnes et la justification doit être assez facile à prouver.

[Dattier]

On a
La somme ne vaut pas 0, donc oui, ton raisonnement n'est pas bon.

[LB2]

Bonjour,

avec un raisonnement "à la louche", c'est à dire en remplaçant par son développement limité en à l'ordre 2, j'aurais tendance à dire que la limite est égale à 1/2 (somme de Riemann)

En effet, le terme en somme de sinus est nul (symétrie) et le terme d'ordre 2, en somme de k^2/n^6, est majorée par du C/n^3 donc tend vers 0.

Il faudrait rendre ce raisonnement rigoureux en majorant la différence entre et son D.L., typiquement par un reste intégral, et majorer la somme de cette petite différence

[Dattier]

Bonjour,

Bon j'avais pas trop le temps hier soir pour dire un peu ce que dit LB2: un raisonnement approximatif ne justifie pas le résultat.

Non, non, il ne manque juste à nommer le résultat utiliser et c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange, appliqué à la fonction racine entre et .

Toute est parfaitement rigoureux.

Tchuss.

[aviateur]

Bonjour
Bon j'avais pas trop le temps hier soir pour dire un peu ce que dit LB2 aujourd'hui et je sais pas où est passé mon message d'hier donc ça fait peut être doublon:

1. Il faut vérifier que
Alors la réponse est non et alors je suis d'accord que ça n'implique pas que n'est pas un o(1)

2. Concernant O(1/n^6) c'est pas rigoureux du tout. En effet si j'applique ton raisonnement on a mon expression on a pour k fixé (**)
Mais le o(1/n) dépend de k et k peut être grand n/2 (pour moi) .
Et si je continue je pense que j'arrive à la même limite.

Alors il faut continuer si la limite était bonne il faut simplement justifier que mon identité (**) est correcte ou alors de façon équivalente ce que tu as écrit doit être justifié correctement.

[aviateur]

Bon
je viens de voir ton message, je veux bien le croire mais écrit le s-t-p correctement.

[Dattier]

Non, non, il ne manque juste à nommer le résultat utiliser et c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange, appliqué à la fonction racine entre et , éléments de l'intervalle où la dérivée seconde de la racine est uniformément bornée car continue sur un compact.

[LB2]

et un équivalent de x_n moins sa limite?

[aviateur]