Une intégrale spéciale

[upium666]

Bonjour,

Quelle est la valeur exacte de ?

Ceci figure dans un exercice d'approfondissement, mais il n'y a aucune indication
Apparemment, les bornes 0 et 1 empêchent d'intégrer par parties.

Merci pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, je sais pas pas trop si "les bornes empêchent d'intégrer par partie", mais par contre, ce que je sais, c'est que vu la forme du truc à intégrer, ça risque pas de mener à grand chose une intégration par partie...


Sinon, si tu veut une méthode... parmi d'autres... je te suggèrerais de tracer proprement la courbe de la fonction en question (dans un repère orthonormé) puis, au vue du dessin de conjecturer un truc assez con puis de le démontrer et d'en déduire la valeur de l'intégrale sans trop de calculs bourrins... :hein:

A la rigueur, un truc compliqué (mais marrant) ensuite, c'est de voir comment déduire du dessin une primitive de ta fonction.

[upium666]

Salut,
Bon, déjà, je sais pas pas trop si "les bornes empêchent d'intégrer par partie", mais par contre, ce que je sais, c'est que vu la forme du truc à intégrer, ça risque pas de mener à grand chose une intégration par partie...


Sinon, si tu veut une méthode... parmi d'autres... je te suggèrerais de tracer proprement la courbe de la fonction en question (dans un repère orthonormé) puis, au vue du dessin de conjecturer un truc assez con puis de le démontrer et d'en déduire la valeur de l'intégrale sans trop de calculs bourrins... :hein:

A la rigueur, un truc compliqué (mais marrant) ensuite, c'est de voir comment déduire du dessin une primitive de ta fonction.

Ma calculatrice me donne , je ne vois pas trop comment je pourrais le deviner graphiquement :p :ptdr:

[Robic]

Je n'avais pas pensé à l'astuce de Ben314, du coup je viens de suivre sa recommandation et ça marche ! Donc lance-toi, fais-lui confiance ! Une étude de fonction, un dessin très précis et on doit voir quelque chose. On ne verra pas directement Pi/8, bien sûr, mais on verra autre chose... un autre chose qui permettra de calculer l'intégrale.

[upium666]

Je n'avais pas pensé à l'astuce de Ben314, du coup je viens de suivre sa recommandation et ça marche ! Donc lance-toi, fais-lui confiance ! Une étude de fonction, un dessin très précis et on doit voir quelque chose. On ne verra pas directement Pi/8, bien sûr, mais on verra autre chose... un autre chose qui permettra de calculer l'intégrale.

Ah oui, c'est bon, merci
Mais sans méthode graphique, comment ferait-on ? o.O

[Robic]

Mais sans méthode graphique, comment ferait-on ? o.O

Il existe d'autres méthodes qui ne sont pas au programme du lycée. Par exemple le changement de variable. Comme tu as l'air curieux, voici les calculs :

Quand on a des , ça suggère de poser le changement de variable . Quand varie de 0 à 1, varie de 0 à , ce changement est donc bien bijectif, de plus . Enfin, on a donc

Ce qui donne :


Ensuite on peut linéariser 2 sin²t cos²t :



Ainsi :


C'est quand même un peu plus laborieux...

[capitaine nuggets]

salut !

Bonjour,

Quelle est la valeur exacte de ?

Ceci figure dans un exercice d'approfondissement, mais il n'y a aucune indication
Apparemment, les bornes 0 et 1 empêchent d'intégrer par parties.

Merci pour votre aide !

J'avais trouvé cet exo en tle :+++:

Soit la courbe d'équation . Par élévation au carré, les points satisfont simultanément et .
Ainsi, l'intégrale désigne l'aire du domaine formé des couples (x,y) du plan vérifiant et .
Or désigne un cercle donc, je te laisse conclure :+++:

Un petit complément : pour un cercle de centre de coordonnées et de rayon , on a :

[Ben314]

Ah oui, c'est bon, merci
Mais sans méthode graphique, comment ferait-on ? o.O

Pour commencer, et à mon avis, le truc se trouvant dans un bouquin de terminale, je pense que la méthode attendu est la méthode graphique (pour que les élèvent constatent qu'il peut être utile de revenir à la quasi-définition d'une intégrale, c'est à dire une surface)

Sinon, concernant le calcul "non graphique" de cette intégralle, un autre truc à savoir, c'est qu'il n'y a pas de "méthode générales" pour calculer explicitement la valeur d'une intégrale et qu'il y en a des tas qu'on ne peut pas calculer exactement (par contre on peut les approximer et il y a moultes méthodes numériques pour le faire)
Si tu écrit au pif une fonction mélangeant un peu de tout (exp, sin, log, racines, etc) il est quasi certain qu'on ne saura pas calculer la primitive exactement.

Par contre, il y a des livres entier (très épais...) donnant des tonnes de méthodes particulières pour des types particuliers d'intégrales : si la fonction est le quotient de deux polynôme, si elle ne contenant que des fonction trigo...
Il est clair qu'au niveau terminale, on ne risque pas de voir toutes ces méthodes, mais simplement (peut-être) d'en voire une ou deux à travers des exemples bien choisi et en indicant aux élèves la marche à suivre.

Par exemple, parmi les "méthodes classique", outre celle donné par Robic (qui marche parfaitement bien), j'aurais personnellement utilisé celle qui dit que, lorsque l'on a affaire a du , il peut être judicieux de mettre le trinôme du second degrés sous forme canonique puis de factoriser pour se rammener à une forme du style puis de poser :

1) (ou ) dans le cas car
2) dans le cas car
3) dans le cas car

Ici, la méthode marche trés bien et en plus, elle permet de retrouver qu'on a affaire à l'aire située sous un demi cercle.

Sinon, as-tu essayé de trouver, en te basant sur le dessin une primitive de la fonction ?
Attention, pour ce faire, il va falloir que tu utilise une fonction trigo inverse (vu au lycée ?), par exemple la fonction arcsin qui donne la valeur de l'angle theta (entre 0 et pi) ayant un sinus donné (en fait la fonction INV SIN de la machine)

[Robic]

Ah oui, l'écriture canonique est quelque chose de connu au lycée, on peut donc bien avancer avec le cours de terminale.

On commence par écrire :


et on écrit alors x²-x sous forme canonique :


Ensuite on fait apparaître du X²-1 :


On obtient ainsi :


On est quand même obligé de faire un changement de variable, zut ! Mais il est très simple cette fois : on pose juste u = 2x-1. Donc du = 2 dx, du coup dx = (1/2)du ; de plus quand x varie de 0 à 1, u varie de -1 à +1. D'où :


et là on reconnaît l'intégrale sur le demi-cercle unité (normalement tout le monde sait que la fonction décrit le demi-cercle unité) dont l'aire vaut . D'où le final.

J'ai quand même dû faire un changement de variable, même s'il est plus simple que ceux envisagés dans nos messages ci-dessus. Donc effectivement, la seule méthode accessible au lycée reste la méthode graphique.