Une inégalité

[kabakas]

salut à tous

svp aidez-moi




merci d'avance !

[infernaleur]

Salut trace un triangle ABC note a b et c les longueurs de ce triangle et îl te faut utiliser cette propriété : dans un triangle la longueur d'un côté est inférieur à la somme des longueurs des deux autres côtés donc en gros tu auras a<=b+c
b<=a+c
c<=a+b
Voila une piste

[kabakas]

Salut trace un triangle ABC note a b et c les longueurs de ce triangle et îl te faut utiliser cette propriété : dans un triangle la longueur d'un côté est inférieur à la somme des longueurs des deux autres côtés donc en gros tu auras a<=b+c
b<=a+c
c<=a+b
Voila une piste

merci de votre attention
j'ai utilisé ces inégalités mais je n'ai rien trouvé !

[Pseuda]

Bonjour,

Une autre piste : il y a aussi la formule dans un triangle de côtés a, b et c, issue du produit scalaire : a^2 = b^2+c^-2bc*cos(A).

[Tiruxa47]

Bonjour,

Pourtant cela fonctionne... il suffit de persévérer...

Dans a<=b+c remplace b+c par 1-a, on en déduit une condition pour a, etc...

Ceci dit l'inégalité à démontrer est au sens large, car pour a=b=0.5 et c=0 (triangle aplati)
on a a²+b²+c²=1/2

[nodgim]

On s'en sort très classiquement en remplaçant c par 1-(a+b) et en étudiant la fonction f(a) = a²+b²+c², sachant que ni a ni b ne peuvent dépasser 1/2.

[infernaleur]

En reprenant mon indication tu as donc
a<=b+c
Or b+c=1-a
Donc a <=1-a soit a^2<=(1-a)^2
Tu fait la même chose pour b et c
Et tu en déduis une majoration de a^2+b^2+c^2

Je n'avais pas vu ton message Tiruxa pardon !

[kabakas]

j'ai trouvé une solution




merci à vous tous

[aviateur]

Bonjour
Oui c'est bien et simple
sinon j'avais :
a^2+b^2+c^2=1/2(a+b+c)^2-1/2[ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]=1/2-1/2[ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]<1/2
car [ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]>0 car on a, b ,c sont les cotés d'un triangle . (voir les infos données dans les posts qui précèdent ).

[nodgim]

Plus simple encore !
Pour tout x, 0 < x <= 1/2, cas de notre triangle, 2x² - x <= 0
Donc 2 (a² + b² + c² ) < a+b+c = 1
Terminé.

[aviateur]

Oui @nogdim c'est encore plus simple mais ta deuxième ligne il a fallu deviner ce tu as voulu dire.
Puisqu'on est dans les triangles je propose une inégalité dans une enigme.

[Pseuda]

Bonjour,

Très simple en effet. Bravo nodgim !

On peut remarquer que pour vérifier a^2+b^2+c^2 < 1/2, avec a, b, c réels positifs tels que a+b+c=1, la condition "a, b, c sont les côtés d'un triangle" est suffisante mais pas nécessaire (par exemple a=1/13, b=5/13, c=8/13).

Sinon, on peut montrer que si a, b, c sont les côtés d'un triangle avec a+b+c=1, on a même : 1/3 <= a^2+b^2+c^2 < 1/2.