Une fonction

[Dacu]

Bonjour à tous,

Déterminer la fonction continue avec la propriété , .

Cordialement,

Dacu

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Déterminer la fonction continue avec la propriété , .

Cordialement,

Dacu

Posons y=2x+1
F(y)=f((y-1)/2)

Soit (Un) la suite telle que:
U(n+1)=(Un-1)/2
U0= y

On constate alors que f(y)=f(U0)=f((U0-1)/2)=f(U1)= ..
Donc f(y)=f(Un) pour tout entier naturel n

(Un) converge vers -1 (par exemple en trouvant une formule explicite de Un) et comme f continue sur R donc en -1, on devrait avoir f(Un) qui tend vers f(-1) quand n tend vers l'infini.

Mais alors f(-1)=f(y)

Donc f est constante de valeur f(-1).

[pascal16]

A la première lecture, je me suis dit qu'il manquait un truc.
A la seconde, j'ai vu que la démo était complète.

Je réexplique donc :
pour toute valeur de y choisie au départ pour la suite, f(y)=f(-1)
f(-1), c'est un nombre fixe.
or y = 2x+1 (fonction affine de coefficient directeur non nul donc bijective), donc
pour toute valeur de x, f(x) =constante (le y choisi parmi les 2x+1 aurait pu faire des restrictions)
f est une fonction constante

On peut vérifier que toute fonction constante est continue et vérifie f(2x+1)=f(x)

[Lostounet]

A la première lecture, je me suis dit qu'il manquait un truc.
A la seconde, j'ai vu que la démo était complète.
)

Bon peut-être pas complètement complète vu qu'il manque des quantificateurs et des justifications (comme l'équivalence/les équivalences que tu soulignes etc..).

[nodgim]

Il me semble que si on exige la continuité en -1 seulement, ça doit suffire.

[Lostounet]

Il me semble que si on exige la continuité en -1 seulement, ça doit suffire.

Il me semble aussi.
Que la continuité au voisinage de -1 implique la continuité sur R... j'ai l'impression que f "transporte" la continuité de proche en proche sur R.

Je voudrais bien un exemple où on arriverait pas dans une équation fonctionnelle à transporter la régularité de f ailleurs qu'en certains points...

Et si on retire la continuité tout court... ? Il y a une infinité de solutions ?

[Ben314]

Et si on retire la continuité tout court... ? Il y a une infinité de solutions ?

Oui, évidement :
Si tu pose avec alors l'hypothèse, elle te dit très exactement que les deux fonctions sont périodique de période et il y a bien évidement des tonnes et des tonnes de telles fonctions (déjà, rien que pour tu as des tonnes de choix et rien ne t'empêche de prendre qui n'a rien à voir avec )
Par contre, si tu demande à d'admettre une limite en -1, ça signifie que tu demande aux fonctions d'avoir une limite en -oo (la même pour les deux fonctions) et là, des fonction périodique qui ont une limite en -oo, il y en a... pas des tonnes...

Enfin, bref, c'est, à peine camouflé, un exo. basique et classique concernant la notion de limite qui se résume à montrer qu'une fonction R->R périodique qui admet une limite en +oo (ou -oo) est forcément constante.
Et on peut soit se ramener à ce cas là, soit refaire exactement la même preuve que dans ce cas là en l'adaptant au contexte où les +1 de la fonction périodique F deviennent des x2 pour f (c'est ce que tu as fait)

[chan79]

salut
Si on prend la fonction caractéristique de , elle vérifie l'égalité pour tout réel x.

[Lostounet]

Merci à vous pour ces compléments..!

[Dacu]

Bonjour à tous,

Mon raisonnement:

Supposons que est dérivable pour tout ,alors selon le théorème de Lagrange nous pouvons écrire que pour ou pour et comment alors il faut qui pas intéressé ou et donc où est une constante et est dérivable pour tout .

Cordialement,

Dacu

[Ben314]

Supposons que est dérivable pour tout ,alors selon le théorème de Lagrange nous pouvons écrire que pour ou pour et comment alors il faut qui pas intéressé ou et donc où est une constante et est dérivable pour tout .

Et bien... c'est du grand n'importe quoi...
Pour tout , ce que tu déduit, c'est qu'il existe un dépendant de entre ? et ? tel que .
Sauf que ça ne prouve absolument pas que pour tout vu que que le théorème de Lagrange ne te donne aucune information concernant la fonction (à part qu'elle existe) donc tu risque pas de prouver qu'elle est surjective.

Même si on les écrit pas, il faudrait peut être songer à différentier un "il existe" d'un "quelque soit".

[pascal16]

Chan, ta fonction peu servir à savoir les conditions minimums. Mais si la fonction est continue en 1 point, elle va l'être partout et être constante.

[Dacu]

Supposons que est dérivable pour tout ,alors selon le théorème de Lagrange nous pouvons écrire que pour ou pour et comment alors il faut qui pas intéressé ou et donc où est une constante et est dérivable pour tout .

Et bien... c'est du grand n'importe quoi...
Pour tout , ce que tu déduit, c'est qu'il existe un dépendant de entre ? et ? tel que .
Sauf que ça ne prouve absolument pas que pour tout vu que que le théorème de Lagrange ne te donne aucune information concernant la fonction (à part qu'elle existe) donc tu risque pas de prouver qu'elle est surjective.

Même si on les écrit pas, il faudrait peut être songer à différentier un "il existe" d'un "quelque soit".

Comment les intervalles peuvent être très petites ,alors nous pouvons dire que par le théorème de Lagrange nous obtenons que il faut et donc où est une constante et est dérivable pour tout .
En fait , este o ecuație funcțională.Comment résoudre cette équation fonctionnelle?

Cordialement,

Dacu

[Ben314]

Comment les intervalles peuvent être très petites...

Ah bon !!!!!!
Ben t'as une drôle de notion de "très petit".
Lorsque x=10 000 par exemple, tu trouve que l'intervalle de 10 000 à 20 001 est "très petit".
Et si tu faisait un malheureux dessin, tu verrais qu'il existe des tonnes de fonction non constante (et parfaitement C^1 sur R) dont la dérivée s'annule au moins une fois sur tout intervalle ce qui prouve qu'avec un tel argument, ben tu risque pas de conclure.

[Ben314]

Chan, ta fonction peu servir à savoir les conditions minimums. Mais si la fonction est continue en 1 point, elle va l'être partout et être constante.

Seule la continuité en -1 est utile : il y a une énorme infinité de fonction non constante solutions du problème qui sont C^oo sur R tout entier, sauf en -1.

[Dacu]

Comment les intervalles peuvent être très petites...

Ah bon !!!!!!
Ben t'as une drôle de notion de "très petit".
Lorsque x=10 000 par exemple, tu trouve que l'intervalle de 10 000 à 20 001 est "très petit".
Et si tu faisait un malheureux dessin, tu verrais qu'il existe des tonnes de fonction non constante (et parfaitement C^1 sur R) dont la dérivée s'annule au moins une fois sur tout intervalle ce qui prouve qu'avec un tel argument, ben tu risque pas de conclure.

Bonjour,

Vous avez raison!Et alors , comment pouvons-nous résoudre l'équation fonctionnelle ?

Cordialement,

Dacu

[Lostounet]

Comme ça:

Posons y=2x+1
F(y)=f((y-1)/2)

Soit (Un) la suite telle que:
U(n+1)=(Un-1)/2
U0= y

On constate alors que f(y)=f(U0)=f((U0-1)/2)=f(U1)= ..
Donc f(y)=f(Un) pour tout entier naturel n

(Un) converge vers -1 (par exemple en trouvant une formule explicite de Un) et comme f continue sur R donc en -1, on devrait avoir f(Un) qui tend vers f(-1) quand n tend vers l'infini.

Mais alors f(-1)=f(y)

Donc f est constante de valeur f(-1).

[chan79]

Evidemment, si on prend la fonction f telle que:
f(-1)=1
et
f(x)=0 si x est différent de -1
alors f vérifie l'égalité f(x)=f(2x+1)

[pascal16]

oui, mais elle est pas continue.
Je trouve tes contre-exemples plutôt cools.

[chan79]

il a été établi que les solutions continues sont les fonctions constantes.