Une équation trigonométrique

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Dacu
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Une équation trigonométrique

par Dacu » 15 Juin 2018, 07:46

Bonjour à tous,

Un problème d'un autre forum:
Combien de solutions réels a de l'équation pour chaque *?

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.



aviateur
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Re: Une équation trigonométrique

par aviateur » 15 Juin 2018, 11:33

Aie! je ne comprends pas: "arctg" surement arc tangente "arcctg" = arc cotangente???

Si c'est bien le cas, une simple étude de variations de la fonction f(x)=arctg(1/x)-arccotg(1/x) montre que ton équation a deux solutions pour chaque entier une solution est négative, l'autre positive.

Remarque on eut résoudre explicitement l'équation mais je te laisse chercher.

Dacu
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Re: Une équation trigonométrique

par Dacu » 16 Juin 2018, 06:47

aviateur a écrit:Aie! je ne comprends pas: "arctg" surement arc tangente "arcctg" = arc cotangente???

Si c'est bien le cas, une simple étude de variations de la fonction f(x)=arctg(1/x)-arccotg(1/x) montre que ton équation a deux solutions pour chaque entier une solution est négative, l'autre positive.

Remarque on eut résoudre explicitement l'équation mais je te laisse chercher.

Bonjour,

Oui , "arctg" =arc tangente et "arcctg"=arc cotangente.Et je dis que l'équation a deux solutions...Pourquoi certains disent que l'équation a une solution positive unique pour chaque *?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

nodgim
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Re: Une équation trigonométrique

par nodgim » 16 Juin 2018, 09:20

Dacu a écrit:
aviateur a écrit:
Oui , "arctg" =arc tangente et "arcctg"=arc cotangente.Et je dis que l'équation a deux solutions...Pourquoi certains disent que l'équation a une solution positive unique pour chaque *?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu


Toi tu dis que l'équation a 2 solutions, d'autres disent qu'il n'y a qu'une solution positive, Aviateur dit qu'il y a une solution positive et une solution négative.
Est ce qu'un jour tu te décideras à prendre un peu de ton temps à réfléchir ?

Dacu
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Re: Une équation trigonométrique

par Dacu » 16 Juin 2018, 16:44

nodgim a écrit:
Dacu a écrit:
aviateur a écrit:
Oui , "arctg" =arc tangente et "arcctg"=arc cotangente.Et je dis que l'équation a deux solutions...Pourquoi certains disent que l'équation a une solution positive unique pour chaque *?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu


Toi tu dis que l'équation a 2 solutions, d'autres disent qu'il n'y a qu'une solution positive, Aviateur dit qu'il y a une solution positive et une solution négative.
Est ce qu'un jour tu te décideras à prendre un peu de ton temps à réfléchir ?

Bonjour,

Que pouvons-nous penser?Et Aviateur dit que l'équation a deux solutions et évidemment l'une est négative et l'autre est positive...Combien de solutions dites-vous q'a l'équation , si l'une est négatif et l'autre est positif? :idea:

Cordialement,

Dacu
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Dacu
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Re: Une équation trigonométrique

par Dacu » 16 Juin 2018, 17:26

Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

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chan79
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Re: Une équation trigonométrique

par chan79 » 17 Juin 2018, 23:26

Salut
Montre d'abord que :
si x>0 alors arc cotan(1/x)=arctan(x)
si x<0 alors arc cotan(1/x)=arctan(x)+
A noter que la fonction x---> cotan(x) est une bijection de ]0;[dans
On considère en général que la fonction x-->arccotan(x) est une bijection de dans ]0;[.

Dacu
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Re: Une équation trigonométrique

par Dacu » 18 Juin 2018, 09:23

chan79 a écrit:Salut
Montre d'abord que :
si x>0 alors arc cotan(1/x)=arctan(x)
si x<0 alors arc cotan(1/x)=arctan(x)+
A noter que la fonction x---> cotan(x) est une bijection de ]0;[dans
On considère en général que la fonction x-->arccotan(x) est une bijection de dans ]0;[.

Bonjour,

Ce que dit WolframAlpha n'est pas juste?

Cordialement,

Dacu
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Re: Une équation trigonométrique

par chan79 » 18 Juin 2018, 09:30

Oublie Wolfram et essaie d'avancer par toi-même.

Black Jack

Re: Une équation trigonométrique

par Black Jack » 18 Juin 2018, 12:03

Alternative :

f(x) = arctg(1/x) - arccotg(x) (définie sur [-oo ; 0[ U ]0 ; +oo[

f'(x) = -2/(x²+1)

S f'(x) dx = -2.arctg(x) + K

Pour x > 0 : f(1) = 0 --> K = Pi/2
Pour x < 0 : f(-1) = 0 --> K = -Pi/2

Donc :

f(x) = -2.arctg(x) - Pi/2 pour x < 0
f(x) = -2.arctg(x) + Pi/2 pour x > 0

...

Ce qui conduit directement à :

Les solutions de arctg(1/x) - arccotg(x) = 1/n sont (pour tout n de N*) :

x1 = - tan(Pi/4 + 1/(2n))
x2 = tan(Pi/4 - 1/(2n))

8-)

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Re: Une équation trigonométrique

par chan79 » 18 Juin 2018, 12:45

Salut Black Jack
Pour toi, arccotg est une fonction de quoi dans quoi ?

Black Jack

Re: Une équation trigonométrique

par Black Jack » 18 Juin 2018, 13:31

Salut

y = arccotg(x)

Pour x dans R et y dans ]0 ; Pi[

... ce qui donne un soucis pour mon x1 = - tan(Pi/4 + 1/(2n))

Du moins si on considère la fonction arccotg(x) mais pas si on le considère comme "toutes les valeurs de y ayant x comme cotangente".

Il faudrait donc que l'énoncé précise si arctg(1/x) - arccotg(1/x) est une fonction ou non.

8-)

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Re: Une équation trigonométrique

par chan79 » 18 Juin 2018, 15:00

OK

 

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