Une égalité qui me travaille...

[letudian]

Bonjour,

Je travaille sur les complexes et dans les corrigés, il y a une égalité que je n'arrive pas à trouver....la voici:

(z^3-1)/(z-1)=z^2+z+1
Comment trouve-t-on le membre de droite?
Merci d'avance!

[emdro]

Bonjour,

1. Quand on ne connait pas son cours: on fait un produit en croix, et on développe (pour vérifier). Sinon, on fait une division euclidienne.
2. Sinon: on remarque que 1+x+x² est la somme des termes d'une suite géométrique! Ou plutôt que la formule de gauche correspond à cela. :happy2:

[dom85]

bonjour,

z^3-1 est de la forme a^3-b^3 qui donne (a-b)(a²+ab+b²)
donc z^3-1=(z-1)(z²+z+1)

d'où, après simplification:
z^3-1/z-1=z²+z+1

bonne journée

[letudian]

Merci pour votre aide!

[flight]

.. voir aussi vours sur la racine nième de l'unité , ici n=3

Z^3-1= Produit(Z-Zk) pour k compris entre 0 et 2.
avec Zk=e^(i2.k.pi/3)

alors Z^3-1= (Z-1).Produit(Z-e^(i.2.k.pi/3)) pour k compris entre 1 et 2

soit en divisant par z-1 les deux mbr de cette équation , il vient :

(Z^3-1) /(z-1)= Produit( Z-e^(i.2.k.pi/3)) pour k compris entre 1 et 2

=z²+z+1.