Une autre question d'arithmétiques

[zerow2001]

Salut tout le monde !

- Déterminer tous les entiers n tels que n²-3n+6 est divisible par 5.
j'ai seulement réfléchis de faire comme ca

j'ai essayé de dire que les restes possibles sont : 0,1,2,3,4.
et de remplacer le n avec 0 et 1 et 2 et 3 et 4
ca nous donne :
si n = 0 : n²-3n+6 = 6[5] = 1[5]
si n = 1 : n²-3n+6 = 2[5]
si n = 2 : n²-3n+6 = 4[5]
si n = 3 : n²-3n+6 = 6[5] = 1[5]
si n = 4 : n²-3n+6 = 10[5] = 0[5]

alors n doit etre 4 pour que n²-3n+6 est divisible par 5 ? ou bien on dit que n doit etre sou forme de n=4k
ou bien toute ma methode est fausse ?

si quelqu'un a une remarque ou bien une autre methode, vous pouvez l'ajouter
merci !!!

[Lostounet]

si n = 4 : n²-3n+6 = 10[5] = 0[5]

alors n doit etre 4 pour que n²-3n+6 est divisible par 5 ? ou bien on dit que n doit etre sou forme de n=4k
ou bien toute ma methode est fausse ?

si quelqu'un a une remarque ou bien une autre methode, vous pouvez l'ajouter
merci !!!

La méthode est correcte mais la conclusion est fausse.

Toi tu es parti du fait que n=4 [mod 5]
Et tu as ensuite calculé n^2-3n+6 modulo 5.
Tu as trouvé 0.

Donc la solution c'est l'ensemble de n congrus à 4 modulo 5, donc tels que n-4=5k soit n=5k+4

[zerow2001]

Ui j'ai oublié desolé.
si par example j'ai trouver dans n=2[mod 5] que n²-3n+6 = 0
je vais dire que la solution est tous les naturels n tels que n=5k+2
j'ai bien compris maintenant, merci beacoup

[Lostounet]

Voici une autre façon de faire.

On constate que -3=2 [modulo 5]
Et que 6=1 [modulo 5]

Donc:
n²-3n+6 = n^2+2n+1 [mod 5]
= (n+1)^2 [mod 5]

Donc si (n+1)^2= 0 modulo 5 alors 5 divise (n+1)^2 donc 5 divise (n+1) ce qui veut dire que
n+1=5q
Donc n=5q-1
(C'est le même ensemble que plus haut si tu prends q= k+1 )

[zerow2001]

Sage <3
j'ai aimé la deuxieme methode