Une autre "approche" de la fonction exponentielle

[Sephir0th]

Salut
Je suis bloqué à mon DM, dont voici l'énoncé :

On rappelle que si f est une fonction dérivable en a, alors il existe une fonction telle que :
f(a+h) = f(a) f hf'(a) + h;)(h) avec lim(h->0);)(h)=0
D'où l'approximation :
f(a+h) f(a) + hf'(a) (Cette approximation est d'autant meilleures que h est petit.)
C'est sur cette approximation (dite "affine") qu'est basée la méthode d'Euler.

Soit la fonction f l'unique fonction satisfaisant les condition :
y' = y
y(0) = 1

1) En utilisant les conditions satisfaites par f, démontrer que pour tout n |N, on a f(a+nh) (1+h)^n f(a) avec a |R et h asses petit.




Je suis partit d'un hypothese de recurence :
En supposant que f(a+ph) = (1+h)^p f(a) pour un réel p
J'ai voulu démontrer que f(a+(p+1)h) = (1+h)^(p+1) f(a)

J'ai donc fait :
f(a+(p+1)h) = f(a) + (p+1)hf'(a)
f(a+(p+1)h) = f(a) + (p+1)hf(a)
f(a+(p+1)h) = f(a) + ((p+1)h)
f(a+(p+1)h) = f(a) + (ph + h)

Mais après je ne vois pas comment arriver à
f(a) + (ph + h) = (1+h)^(p+1) f(a)


Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci.

[Sephir0th]

Personne ne peut m'aider ? :hein: