Trouver une largeur d'un rectangle

[barbaradefrance]

Bonjour,
Je suis en classe de seconde et j'ai un problème avec mon exercice, voila l'énonce:
Le responsable d'un parc municipal, situé au bord d'une large rivière, veut aménager une aire de baignade surveillée de forme rectangulaire. Il dispose d'un cordon flottant de 180 m de longueur et de deux bouées A et B. On se propose de déterminer comment placer les bouées A et B pour que l'aire de baignade soit maximale.
1.Si la distance de la bouée A à la rive est de 15 m, quelle est la longueur de la zone de baignade? son aire ? Même question pour 25 m.
2.Déterminer la distance minimale et la distance maximale de la bouée A par rapport au bord que l'on appellera x désormais
...

Pour l'instant j'ai répondue qu'à la question 1 et compris que les périmètre du rectangle doit prendre en compte le bort de la rivière ( donc le cordon n'est pas le périmètre du rectangle à lui tout seul) mais je bloque sur la 2, comment on fait pour trouver une largeur sans avoir ni le périmètre ni l'aire et ni la longueur :triste:
merci d'avance à ceux qui vont me répondre

[chombier]

Bonjour,
Je suis en classe de seconde et j'ai un problème avec mon exercice, voila l'énonce:
Le responsable d'un parc municipal, situé au bord d'une large rivière, veut aménager une aire de baignade surveillée de forme rectangulaire. Il dispose d'un cordon flottant de 180 m de longueur et de deux bouées A et B. On se propose de déterminer comment placer les bouées A et B pour que l'aire de baignade soit maximale.
1.Si la distance de la bouée A à la rive est de 15 m, quelle est la longueur de la zone de baignade? son aire ? Même question pour 25 m.
2.Déterminer la distance minimale et la distance maximale de la bouée A par rapport au bord que l'on appellera x désormais
...

Pour l'instant j'ai répondue qu'à la question 1 et compris que les périmètre du rectangle doit prendre en compte le bort de la rivière ( donc le cordon n'est pas le périmètre du rectangle à lui tout seul) mais je bloque sur la 2, comment on fait pour trouver une largeur sans avoir ni le périmètre ni l'aire et ni la longueur :triste:
merci d'avance à ceux qui vont me répondre

Qu'as-tu trouvé pour la question 1 ?

Pour la question 2, la largeur est représentée par l'inconnue x. Tu dois trouver l'expression de la surface du rectangle en fonction de x.

[barbaradefrance]

Qu'as-tu trouvé pour la question 1 ?

Pour la question 2, la largeur est représentée par l'inconnue x. Tu dois trouver l'expression de la surface du rectangle en fonction de x.

Pour la question 1 j'ai trouvée: pour l=15 m --> L=150 m et Aire=2250 m²
pour l=25 m --> L=130 m et Aire= 3250 m²
L'aire du rectangle en fonction de x doit être l*L donc x*y Mais comment faire pour résoudre l'équation sans chiffres ?
Ps: j'ai bien essayée de faire quelque chose avec mon périmètre donné et je trouve x= 90-y mais j'arrive pas a trouver la valeur de x.

[laetidom]

Pour la question 1 j'ai trouvée: pour l=15 m --> L=150 m et Aire=2250 m²
pour l=25 m --> L=130 m et Aire= 3250 m²
L'aire du rectangle en fonction de x doit être l*L donc x*y Mais comment faire pour résoudre l'équation sans chiffres ?
Ps: j'ai bien essayée de faire quelque chose avec mon périmètre donné et je trouve x= 90-y mais j'arrive pas a trouver la valeur de x.

Bonjour,
indice : l = 180m = x + AB + x

d'où AB = 180 - 2x


Donc la surface = longueur * largeur = .......

[laetidom]

Bonjour,
indice : l = 180m = x + AB + x

d'où AB = 180 - 2x


Donc la surface = longueur * largeur = .......

.....et la longueur = AB, la largeur étant = x

Donc S = x . AB = x . (180 - 2x) = .......on obtient une équation du second degré, regarder comment sa courbe évolue pour répondre à la question : comment placer A et B pour que Smaxi ?....

[barbaradefrance]

Bonjour,
indice : l = 180m = x + AB + x

d'où AB = 180 - 2x


Donc la surface = longueur * largeur = .......

Merci pour l'indice cela me rassure je l'avais déjà essayé
Voila ce que j'ai trouvé --> (180-2 x)x
soit Surface du rectangle = 180 x - 4 x²
Mais j'ai l'impression que cela ne m'aide pas a trouver la distance minimale et maximale de mon bord à la bouée ( je ne comprend pas ce qui faut que je fasse )

[barbaradefrance]

.....et la longueur = AB, la largeur étant = x

Donc S = x . AB = x . (180 - 2x) = .......on obtient une équation du second degré, regarder comment sa courbe évolue pour répondre à la question : comment placer A et B pour que Smaxi ?....

ha oui c vrai mais je suis désolée je n'ai pas encore appris les résolutions du second degrés alors je ne sais pas comment je peut les résoudre avec se que je sait :s

[laetidom]

Merci pour l'indice cela me rassure je l'avais déjà essayé
Voila ce que j'ai trouvé --> (180-2 x)x
soit Surface du rectangle = 180 x - 4 x²
Mais j'ai l'impression que cela ne m'aide pas a trouver la distance minimale et maximale de mon bord à la bouée ( je ne comprend pas ce qui faut que je fasse )

Voila ce que j'ai trouvé --> (180-2 x)x oui racines : x=0 et x=90
soit Surface du rectangle = 180 x - 4 x² erreur

S = -2x^2 +180x ce qui correspond à une parabole (j'ai noté que tu ne l'a pas encore vu en cours)

qui a ses branches en bas et son extrémum en haut au point de coordonnées x=45 et y=4050 (les racines de la parabole étant x=0 et x=90) donc ce qui veut dire que l'aire est maximum avec 4050 m^2 et x= 45m et AB = 180 -2.45 = 90m

Sauf distraction, restant à ta disposition Barbara pour toute info complémentaire, bonne soirée.

[laetidom]

Voila ce que j'ai trouvé --> (180-2 x)x oui racines : x=0 et x=90
soit Surface du rectangle = 180 x - 4 x² erreur

S = -2x^2 +180x ce qui correspond à une parabole (j'ai noté que tu ne l'a pas encore vu en cours)

qui a ses branches en bas et son extrémum en haut au point de coordonnées x=45 et y=4050 (les racines de la parabole étant x=0 et x=90) donc ce qui veut dire que l'aire est maximum avec 4050 m^2 et x= 45m et AB = 180 -2.45 = 90m

Sauf distraction, restant à ta disposition Barbara pour toute info complémentaire, bonne soirée.

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réflexion supplémentaire.....et oui je n'avais pas vu que tu n'étais qu'en seconde, donc la parabole c'est un peu trop...excuse-moi...
donc si on repart de S = x.(180-2x) (niveau seconde) les racines sont x=0 et x=90 pour la détermination du mini (question 2) de x : on doit avoir 0 S
42 ----> 4032
43 ----> 4042
44 ----> 4048
45 ----> 4050
46 ---- > 4048
47 ----> 4042
et s'apercevoir que le maxi est en x=45 et S=4050

Pensant avoir pu t'éclairer dans la résolution de cet exercice, bonne journée

[poupousine]

En Seconde, on n'apprend pas les équations du seconde degré!
Pour calculer le maxi:

S(X) = 180X -2X²
= -(2X² -180X +8100/2 ) +8100/2
= -(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² +4050

OR: (sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² >= 0
DONC: -(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² <= 0
-(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² + 4050 <= 4050

ET DONC: S(X) <= 4050

L'aire maximum est donc de ......... ?
Atteint en ........ ?

[laetidom]

En Seconde, on n'apprend pas les équations du seconde degré!
Pour calculer le maxi:

S(X) = 180X -2X²
= -(2X² -180X +8100/2 ) +8100/2
= -(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² +4050

OR: (sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² >= 0
DONC: -(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² <= 0
-(sqrt(2)X - 90/sqrt(2) )² + 4050 <= 4050

ET DONC: S(X) <= 4050

L'aire maximum est donc de ......... ?
Atteint en ........ ?

Merci poupousine par ta démonstration, on retombe sur nos pattes c'est l'essentiel, on a pu ainsi aider Barbara, bon réveillon à tous et à toutes !!!!!

[barbaradefrance]

Tout d'abord bonne année à tous, bonne santé ...
Désolé de ne pas vous avoir répondue plus tôt, j'ai lu ce que vous m'avait dit poupousine maintenant je vais essayé de le mettre en pratique mais juste une dernière petite question concernant votre explication :que veut dire "sqrt" et pourquoi on trouve le nombre 8100 dans le calcul merci beaucoup et ce n 'est pas grave de ne pas avoir vu que je n'était qu'en seconde laetidom cela m'avance pour mon future programme puisque j'ai aussi essayé de comprendre :we:

[Sylviel]

salut,

sqrt c'est un raccourci pour "square root", ou, en français "racine carrée" !

[laetidom]

Tout d'abord bonne année à tous, bonne santé ...
Désolé de ne pas vous avoir répondue plus tôt, j'ai lu ce que vous m'avait dit poupousine maintenant je vais essayé de le mettre en pratique mais juste une dernière petite question concernant votre explication :que veut dire "sqrt" et pourquoi on trouve le nombre 8100 dans le calcul merci beaucoup et ce n 'est pas grave de ne pas avoir vu que je n'était qu'en seconde laetidom cela m'avance pour mon future programme puisque j'ai aussi essayé de comprendre :we:

Bonjour Barbara,
Merci pour ton message, je t'explique le 8100 : moi je fais autrement mais on retombe sur la démonstration de poupousine, à savoir :
S(x) = 180x -2x^2
S(x) = -2x^2 +180x
= -2.(x^2-90x)
= -2. [(x-45)^2 - 2025] = -2. [(x-45)^2 - 45^2]
= -2.(x-45)^2 +2.45^2 = -2.(x-45)^2 + 4050
Or on sait que (x-45)^2 >= 0 donc que -2.(x-45)^2 <= 0
et que -2.(x-45)^2 + 4050 <= 0 +4050
Donc que -2.(x-45)^2 + 4050 <= 4050
Et S(x) <= 4050

Voilà tu prends la version que tu veux, c'est la même chose, l'important est de bien comprendre, bonne compréhension et bonne année !, on est à ton service, bon courage

[barbaradefrance]

J'ai trouvée que sqrt voulais dire racine carré et que 8100-->90*90 donc l'aire maximale que l'on peut obtenir mais je ne comprend pas le développement que poupousine m'a donné :cry: désolé

[barbaradefrance]

Bonjour et Merci pour la traduction sylviel
laetidom je viens juste de recevoir ce que tu m'a envoyer alors je m'y met merci pour votre aide ça m'aide beaucoup

[laetidom]

Bonjour Barbara,
Merci pour ton message, je t'explique le 8100 : moi je fais autrement mais on retombe sur la démonstration de poupousine, à savoir :
S(x) = 180x -2x^2
S(x) = -2x^2 +180x
= -2.(x^2-90x)
= -2. [(x-45)^2 - 2025] = -2. [(x-45)^2 - 45^2]
= -2.(x-45)^2 +2.45^2 = -2.(x-45)^2 + 4050
Or on sait que (x-45)^2 >= 0 donc que -2.(x-45)^2 <= 0
et que -2.(x-45)^2 + 4050 <= 0 +4050
Donc que -2.(x-45)^2 + 4050 <= 4050
Et S(x) <= 4050

Voilà tu prends la version que tu veux, c'est la même chose, l'important est de bien comprendre, bonne compréhension et bonne année !, on est à ton service, bon courage

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....petite précision pour passer de -2.(x^2-90x) à -2. [(x-45)^2 - 2025] :
dans la première expression on voit que x^2-90x ressemble à a^2 -2ab de l'identité remarquable : (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2
donc a^2 correspond à x^2 et dans (a-b)^2 on a a donc on prendra x,
donc -2ab correspond à -90x et dans (a-b)^2 on a que un facteur 1 et non un facteur 2 donc on prendra 90/2 = 45,
ce qui fait (a-b)^2 = (x-45)^2 que l'on pose brut pour l'instant, mais on voit bien que si l'on développe cette nouvelle expression elle n'est pas juste puisque elle est égale à x^2 -90x +2025 différente de x^2 -90x donc on enlève tout simplement les 2025 !!!
je ne me rends pas compte si mes explications sont claires ou pas, dis-le moi si ce n'est pas le cas et je préciserais mieux mes propos....bonne lecture

[barbaradefrance]

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....petite précision pour passer de -2.(x^2-90x) à -2. [(x-45)^2 - 2025] :
dans la première expression on voit que x^2-90x ressemble à a^2 -2ab de l'identité remarquable : (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2
donc a^2 correspond à x^2 et dans (a-b)^2 on a a donc on prendra x,
donc -2ab correspond à -90x et dans (a-b)^2 on a que un facteur 1 et non un facteur 2 donc on prendra 90/2 = 45,
ce qui fait (a-b)^2 = (x-45)^2 que l'on pose brut pour l'instant, mais on voit bien que si l'on développe cette nouvelle expression elle n'est pas juste puisque elle est égale à x^2 -90x +2025 différente de x^2 -90x donc on enlève tout simplement les 2025 !!!
je ne me rends pas compte si mes explications sont claires ou pas, dis-le moi si ce n'est pas le cas et je préciserais mieux mes propos....bonne lecture

Ne t’inquiète pas tes explications sont très claires maintenant je sais ce qui me bloquait --> j'ai un peu de mal à retrouver les identités remarquables dans une expression mais ça y est :lol3: je termine de travailler le développement pour bien le comprendre et j'ai fini mon exercice merci beaucoup tu m'a énormément aider je pense que j'aurait passer beaucoup plus de temps à faire l'exercice sans toi
PS: normalement je n'ai plus de questions :ptdr: au revoir ou à la prochaine si une question fait irruption :salut: :lol4:

[laetidom]

Ne t’inquiète pas tes explications sont très claires maintenant je sais ce qui me bloquait --> j'ai un peu de mal à retrouver les identités remarquables dans une expression mais ça y est :lol3: je termine de travailler le développement pour bien le comprendre et j'ai fini mon exercice merci beaucoup tu m'a énormément aider je pense que j'aurait passer beaucoup plus de temps à faire l'exercice sans toi
PS: normalement je n'ai plus de questions :ptdr: au revoir ou à la prochaine si une question fait irruption :salut: :lol4:

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Tout est ok !!!....@+ salut