Trouver les racines d'un trinome en factorisant

[Walter White]

Bonjour, bonsoir !

J'ai toujours calculé les racines d'un trinôme avec la célèbre formule. Mais, on me dit qu'en factorisant je peux obtenir directement les racines.

Est-ce que ça s'applique à tous les trinômes ?
Quel est la méthode pour le faire ?

Comment le comprend-on ?

C'est quelque chose qui m'intéresse assez.

Merci d'avance de l'explication aux futurs répondeurs.

[Ben314]

Salut,
Perso, je pense qu'il n'est pas con de savoir non seulement les fameuses formules " blablabla", mais aussi de se rappeler d'où elles sortent : je suis à peu prés persuadé qu'on ne te les as pas donné "toutes crues", mais qu'on te les as démontrées.

De plus, si tu regarde la longueur du théorème lorsqu'on le complète par les "formules" donnant le signe du trinôme en fonction du signe de et de , ça donne l'impression qu'il est plus rapide d'apprendre la preuve que le théorème lui même...


Donc un rappel de la preuve :
Soit un trinôme du second degré (avec , sinon c'est pas du second degrés).
Alors :

c'est LA astuce de la preuve : faire apparaitre une identité remarquable...

- Si donc P ne s'annule jamais et est toujours du signe de a.
- Si alors, est toujours du signe de a et ne s'annule que pour .
- Si alors s'annule lorsque , est du signe de -a quand les deux parenthèses sont de signes différents, c'est à dire lorsque x est entre les deux racines et il est du signe de a sinon.

La formule (*) dit aussi (entre autre...) que, si a>0, la valeur minimale de P(x) sera atteinte lorsque (et il n'y a pas besoin de savoir dériver pour le voir), que la courbe de P est symétrique par rapport à la droite (que l'on prenne ou donnent le même résultat vu que )... etc
Enfin, bref, s'il y a un truc à retenir, c'est plutôt la formule (*) qui donne... tout ce qu'on veut...

De plus, LA astuce de cette preuve (faire apparaitre une identité remarquable) sert dans plein d'autres situations...

Tout ça pour (re)dire que je ne comprend pas l'obsession assez systématique à jeter à la poubelle la preuve de la fameuse formule " blablabla" alors... qu'elle tient 5 lignes...

Autre exemple : si on te donne , pour montrer qu'il n'y a pas de solutions, est-ce vraiment plus rapide de calculer que d'écrire que ?

[Walter White]

Parce que les gens ont plus vite fait d'apprendre une formule comme une vérité indémontrable et de dire «apprends et cherche pas à comprendre» que de vouloir passer par une démonstration scientifique. (J'ai entendu ça de la part des meilleurs élèves en maths, cette année dans ma classe)

C'est le propre de l'homme ou alors celui de l'époque, je pencherai pour un mélange des deux.

M'enfin, vous l'aurez compris, je suis de votre avis. :-)

[Ben314]

C'est le propre de l'homme ou alors celui de l'époque, je pencherai pour un mélange des deux.

Perso, je pencherais principalement pour le deuxième (en regardant ce qui c'est fait à d'autres époques et surtout dans d'autres civilisations non monothéistes : "la vérité est dans le texte...").

Mais... c'est un autre débat et ce n'est pas des maths...