Trouver les extremums d'une fonction sinus

[LB2]

Je sais faire la courbe de sin (x) mais pas de sin(2x).
C'est simple, je me base sur quelques points comme sin(0)=1 (passe par l'origine), sin(pi/2)= 1, sin (pi)=0 et sin (3pi/2)= -1. Impossible de placer sin (2x), je sais pas ce que ça représente.

Un peu de physique : un sinus (ou cosinus) peut se définir par trois paramètres :
- l'amplitude (ici 1)
- la fréquence (ou la période, mais elles sont directement liées par une relation fixe)
- le déphasage (ici il vaut 0 donc on ne le considère pas)

si tu sais que la position d'une particule sur un axe (par exemple) suit un mouvement d'oscillation d'amplitude 1 et de fréquence 1 sur un axe vertical autour de l'origine, alors mathématiquement, la position en fonction du temps s'écrira y(t)=sin(t), où y est en mètres et t en secondes.

Exemple 1 :
Que se passe-t-il si au lieu de compter le temps en secondes, tu le comptes en demi secondes ?
Il y aurait une nouvelle variable de temps t', exprimée en demi secondes, et la relation entre t et t' est t=2*t' (une seconde = 2 demi-secondes)
Que vaut alors la position en fonction de t' ? Ben simplement y(t')=sin(2*t').

Variation de cet exemple : que se passe-t-il si tu restes avec la seconde comme unité mais que tu doubles la fréquence du mouvement?
La nouvelle position s'écrira Y(t)=sin(2*t).
On aurait une représentation graphique plus resserrée, c'est toujours "un sinus" de même amplitude mais qui varie deux fois plus vite.

[lyceen95]

Je reprends ton 1er message, en corrigeant un tout petit peu :

Bonjour, je souhaite trouver le minimum et le maximum de la fonction f(x) = sin2x mais je ne sais pas si mon raisonnement est correcte. Je me demande si on se base uniquement sur la définition de la fonction f(x)=sin x ou s'il y a des calculs à faire. Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est bon ou pas ? Merci à vous !

On sait que pour étudier une fonction, il faut faire sa dérivée. Ici f(x)=sin2x soit f'(x)= 2cos2x. Il faut donc trouver les points où la dérivée s'annule. Comme cos x s'annule en x =pi/2 +kpi alors ici f'(x) s'annule en 2x= pi/2 +kpi soit x=pi/4 +kpi/2.
On sait par définition que la fonction sin x admet un maximum à x=pi/2 + 2kpi et un minimum à x=3pi/2 + 2kpi. Donc ici, f'(x) s'annule aussi en 3pi/4 + kpi/2.
D'ailleurs cette série de valeurs 3pi/4+kpi/2, et la série de valeurs pi/4+kpi/2, c'est exactement la même série de valeurs. Donc ça confirme le résultat obtenu par le calcul de la dérivée.

D'où le résultat : le minimum de f(x)=sin2a est 3pi/4 + kpi/2 et le maximum est x=pi/4 +kpi/2.

Voilà.
Si tu réponds ça sur ta copie, ton prof dira que ce n'est pas parfait, et il aura tout à fait raison. Mais dans les grandes lignes, c'est bon.

[Legolas2mars]

Ah ok c'est comme ça qu'on fait !! En fait, il faut trouver les valeurs qui vont nous permettre de retrouver les valeurs particulières de sin(x). Donc, j'ai fait la courbe de sin(2x) pour la comparer à celle de sin(x) et effectivement elle est plus petite. La période de sin(2x) est de pi sur [0,+l'infini] alors qu'elle est de 2pi pour sin(x). Du coup graphiquement, je vois que le maximum de la fonction sin(2x) est a x= pi/4 + kpi et le minimum à x=3pi/4 +kpi.

Comment vous avez vu que la période était de Pi et non 2pi juste à partir de x=pi/4+kpi/2?
Voua avez étudié la périodicité de sin(2x) pour pi (car pour tout réel x : f(x+pi) = sin (2(x+pi) )=sin (2x+2pi) = f(x)= sin(2x) ) ? Pourquoi juste pour pi ?

[Legolas2mars]

C'est bon, je crois avoir compris, je vais résumer ça :
f(x)= sin(2x )
f'(x)= 2cos(2x)
f'(x)=0 soit 2cos(2x)=0 soit cos(2x)=0. On pose X=2x et cos (X)=0 alors X=pi/2 + kpi ou X=-pi/2 + kpi.
Soit 2x= X <=> 2x=pi/2 + kpi ou 2x=-pi/2 + kpi.
Donc x = pi/4+pi/2k ou x=-pi/4+pi/2k

On simplifie, x = 3pi/4+kpi ou x = pi/4+kpi. Ces valeurs annulent la dérivée. Donc on rebascule dans la fonction de départ sin(2x) en y insérant ces valeurs.
D'où sin(2x)= sin(2*3pi/4) = sin (3pi/2) = -1 et sin(2x)= (2* pi/4) = sin(pi/2) = +1.

J'ai enfin la réponse que je cherchais, la fonction sin(2x) admet un maximum en abscisse pour x=pi/4 + kpi et un minimum à x= 3pi/2 + kpi, avec bien sur k appartenant à Z.

Eh bin, il m'aura tué cet exo . Merci pour votre aide à tous !! C'est sympa !!

[LB2]

Le plus important dans tout ça à mon sens, c'est de savoir représenter le graphe de ces fonctions, et de repérer tous les angles sur le cercle trigonométrique.

L'exercice est d'ailleurs "évident" avec un peu de pratique du cercle trigonométrique, sans utiliser aucune dérivée, juste en lisant le cercle trigonométrique.

En ce sens ton présupposé de départ "pour étudier une fonction, il faut calculer sa dérivée" est faux (et pourtant, très enseigné au niveau du lycée car c'est mécanique).
Le bon énoncé est "pour étudier une fonction, il SUFFIT de calculer sa dérivée (et de déterminer son signe)" ce qui est très différent.

Je te laisse méditer la dessus