TS : trouver expression fonction inconnue

[kemsings]

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour quelques question d'un exo...
Voici l'énoncé :

Soit la condition (c) suivante :
(c): f(-x)f'(x)=1 pour tou réel x et f(0)=-4

On suppose qu'il existe une fonction f dérivable sur R vérifiant la condition (c) et on considère alors la fonction g définie sur R par : g(x)=f(-x)f(x).

1) Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.

---> Je ne vois pas trop comment faire.

2) Calculer le fonction dérivée de la fonction g.

---> g'(x)=-f'(-x)f(x)+f(-x)f'(x)
or f(-x)f'(x)=1 donc g'(x)=-f'(-x)f(x)+1 mais ensuite je ne vois pas trop comment faire.

3)En déduire que la fonction g est constante et déterminer a valeur.

--->Je suppose qu'in trouve g'(x)=0 donc g constante puis on calcule par exemple g(o)=f(-0)f(0)=(-4)²=16 donc g(x)=16

4)Montrer que la fonction f vérifie :
f'=(1/16)f et f(0)=-4

---> pas de soucis pour f' mais je n'arrive pas à prouver que f(0)=-4

5)Démontrer que la fonction f définie par : f(x)=-4e^(x/16) est une fct vérifiant la condition (c).

---> Pour montrer que f(0)=-4 pas de problème mais je ne parviens pas à trouver : f(-x)f'(x)=1

Merci pour votre aide

[Noemi]

La fonction est dérivable est : f(-x)f'(x)=1
soit f'(x) = 1/f(-x) ou f'(-x) = 1/f(x) donc f(x) différent de 0.
Utilise cette relation pour la question 2.

[kemsings]

Ok, merci !
pour la question 1 c'est bon et grâce à la relation, j'ai pu trouver g'(x)=-1+1=0
Par contre pour les question 4 et 5, je n'arrive toujours pas !

[Noemi]

4) De g(0) = 16, on déduit f(0)*f(0) = 16, donc f(0) = ....
5) calcule la dérivée de la fonction f.

[kemsings]

Pour la 4, ca fait f(0)=4 ou f(0)=-4 mais comment justifier le fait que l'on choisisse -4 ?

Pour la 5, je trouve f'(x)=-e^(x/16)/4
et f(-x)=-4/(e^(x/16)) donc f(-x)=1/f'(x) et la condition (c) est vérifiée. C'est juste ou non ?

[Noemi]

Pour la question 4, on demande juste de vérifier.
la question 5 est juste.

[kemsings]

ok, merci beaucoup pour votre aide !!!