Triplet pyth

[bobosss]

Bonjour j'ai un exo à faire qi est le suivant x² +y² = z²
1)Montrer que x ou y est multiple de 3. Ca c'est fait
2)Montrer que x ou y est multiple de 4.Là est mon grand probléme.
Donc pourriez vous m'aider.
Pour info j'ai fait le 1) en raisonnant par l'absurde en supposant que ni X² ni Y² n'était divisible par 3, on arrive à une contradiction. On a alors soit X² soit Y² divisible par 3 càd x ou y divisible par 3.
Mais pour le 2) le probléme c'est qu'en raisonant de la même facons on arrive bien à x² ou y² divisible par 4 mais là on peut pas en conclure que x ou y sont divisible par 4.

[bobosss]

vraiment personne??

[bobosss]

Come on please.

[XENSECP]

Hum j'ai pas suivi ton raisonnement pour la 1) ^^

[skilveg]

Tu peux considérer les restes modulo 4, puis 8, pour montrer par exemple que ou est pair, puis multiple de 4. Regarde quels sont les carrés et les sommes de deux carrés possibles modulo 4 et 8...

[Edit: pardon, tu as déjà trouvé que ou est pair. Dans ce cas, est congru à 0 ou 2 modulo 4; suppose que c'est 2, je prétends qu'alors .]

[bobosss]

Je n'ai pas prouver que x ou y étaient pair.

[skilveg]

Pas loin, en prouvant que ou est divisible par 4.

[bobosss]

En supposant que x congru à 2[4], je vois pas comment t'arrive à prouver que y congru nécéssairement à 0[4]

[skilveg]

Voici encore une indication:
- si x et y sont pairs, z aussi et en divisant tout par 2, on obtient le résultat;
- sinon, supposons par exemple x pair et y impair, alors z est impair. Donc et . Que peut-on dire de et ? Et de ?

(Au passage, un truc utile à retenir: si , alors .)

[bobosss]

Euh pour le cas x pair et y impair je l'ai traité de la facons suivantes.
z²=y²+x²congru 1[2] donc z² impair d'ou z impair.
On fait alors en ayant noté y=2k+1,x=2k' et z=2k''+1
z² - y² = x²
4k''²+4k''-4k²-4k=4k'²
4(k''²+k''-k²-k)=4k'²
k'²=k''²+k''-k²-k=k''(k''+1) -k(k+1)
D'ou k'²est la différence de 2 nombres impairs k'²=impair-impair=pair donc k'=pair=2k'''
x=2k'
x=2*2k'''=4k'''
Est ce que tu pense que c'est bon?

[bobosss]

Euh aussi le truc que tu ma dit de retenir c'est facile à prouver ou non?
parce que nous en cours on a pas vu ca.

[bobosss]

En fait je crois que ma méthode est juste mais le probléme c'est que j'arrive facilement à montrer que x et y ne sont pas impair en mm temps d'ou on a les 2 cas x pair y impair et inversement, mais je n'arrive pas à montrer qu'il existe le cas pair-pair.

[skilveg]

Si tu élimines le cas où x et y sont impairs, il reste bien trois cas, non?

Sinon oui, ce que je disais avant est facile à prouver, mais c'est plutôt anecdotique (en terminale en tout cas)

[bobosss]

En fait il suffit de dire que impair-impair existe pas et que donc on a 3 cas.
C'est bizare car ca parait évident mais dans mon esprit y fallait montrer que pair-pair était possible.

[bobosss]

Alros j'ai 2 questions :
Est ce que mon raisonement pour le cas impair-pair est jsute?
Est ce que en raisonnant de la même facons ca marche avec le cas pair-pair ou ya plus simple?
Oh fait. Merci de ton aide.

[bobosss]

Euh est ce que juste parce que je montre que x et y ne sont pas tout les deux impairs je peut affirmer qu'il y a trois cas possible? Parce que qui nous dit que le cas pair-pair est possible?

[bobosss]

Pour le cas pair-pair est ce que je peut le montrer comme cela :
y=2k,x=2k'
Z²=x²+y²congru 0[2] donc z² pair =2k''
x²=z²-y²=(z+y)(z-y)
4k'²=(2(k''+k))*(2(k''-k))
k'²= (2(k''+k))/2*(2(k''-k))/2
Et là est mon petit probléme comment montrer (k''+k)(k''-k) est multiple de 4.

Si ca méthode pour le cas pair-pair est compliqué comparé à une autre dites moi svp.

[skilveg]

Ta méthode marche dans le cas où x et y ne sont pas de même parité, même si c'est plus compliqué à mes yeux que ce que je raconte.

Si x et y sont pairs, z aussi et donc on peut appliquer ce qu'on a fait au début à et .

[bobosss]

Le cas pair-pair est le pplus dur en fait.
Euh pour ton (x/2)² +(y/2)² = (z/2)² je vois pas ce que tu veux appliquer à x/2 et y/2

[bobosss]

Est ce que pour le cas pair-pair y suffit pas de faire le cas Z congru 2[4] et X congru 2[4]. 0 partir de ca on montre que si l'on a ca 4 divise Y.
Puis de faire le cas X congru 2[4] et Y congru 2[4] et montrer qu'alors
Z congru 0[4].
Et là on dit qu'on a fait tout les cas ou il n'y avait pas X,Y ouZ congru à0[4].
Et que dans tout les cas étudier on a forcement un therme multiple de 4.