Trinôme du second degré

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Ceclepo
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Trinôme du second degré

par Ceclepo » 20 Sep 2009, 10:26

Bonjour,
J'aimerais avoir votre aide sur un exercice ou je séche :

On considére le trinôme du second degré, f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et "a" différent de 0

Somme et produit de racines :
1)On suppose que Delta > 0 et on note x1 et x2 les racines de f .On note S la somme de ces racines ( S=x1+x2) et P le produit (P= x1*x2). Montrer que S=-b/a et que P=c/a

2) Application: on concidére le trinôme du second degré f(x)=7x²-9x+2
-Verfifier que 1 est une racine de f
- En déduire le deuxiéme racine de f sans calculer DELTA

Alors Ici j'ai reussi la premiére question mais je n'arrive pas a faire l'application

Signe des racines:
1er cas : Lorsque P est négatif, que peut-on dire du signe de x1 et x2 ?
2eme cas : Lorsque P est positif, que peut-on dire du signe de x1 et x2 ? ( Présiser en fonction du signe de S)

2) Application :on considére le trinôme du second degré f(x)=-5x²-7x-2 dont on admet que le discriminant est positif. Sans calcule, derterminer le signe des racines x1 et x2 .

Voila et Ici je séche complétement!

Merci de vos réponse

Amicalement Ceclepo



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mathelot
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par mathelot » 20 Sep 2009, 10:34

salut,

ça risque d'^tre dur , dur

les racines sont données par





ces formules viennent de la décomposition canonique du trinôme
et de sa factorisation par l'identite

quand on les somme

les radicaux se sont simplifiés
pareil quand on les multiplie


on obtient facilement la somme S et le produit P des racines
en fonction des coefficients de l'équation,i.e, sans calcul.

car S et P sont des expressions symétriques des racines (dans ces expressions, on ne peut distinguer entre les racines)

c'est si vrai qu'en physique, en mécanique quantique, on utilisera
des expressions symétriques de quantités quand Dame Nature nous impose de ne pouvoir les distinguer...

ps: i.e= "id est" = "c'est à dire"

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 10:39

J'ai réussis à le faire sa, je bloque lors de l'application :s
Je ne vois pas comment faire!

Et je bloque sur tout l'énoncer du Signe des racines!

Merci pour vos réponses !

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par mathelot » 20 Sep 2009, 10:40

application:

racine 1 et somme

que vaut l'autre racine ?

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par mathelot » 20 Sep 2009, 10:43

Ceclepo a écrit:Et je bloque sur tout l'énoncé du signe des racines!



le produit vaut

Quel est le signe du produit P des deux racines ? positif ou négatif ?

deux nombres dont le produit est positif, qu'est-ce que l'on peut en dire ?

et si leur somme vaut ? (renseignement supplémentaire)

attention: y a 3 signes moins dans la formule !!

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 10:45

Pour calculer l'autre racine je calcule x1 et x2 ?

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par mathelot » 20 Sep 2009, 10:47

Ceclepo a écrit:Pour calculer l'autre racine je calcule x1 et x2 ?


vaut 1 par hypothèse

on calcule la somme

puis on en déduit l'autre.

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par mathelot » 20 Sep 2009, 10:49

something wrong ? :doh:


as tu remarqué que
et ont les mêmes racines ?

on pouvait multiplier tous les coefficients par (-1).

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 10:55

mathelot a écrit:le produit vaut

Quel est le signe du produit P des deux racines ? positif ou négatif ?

deux nombres dont le produit est positif, qu'est-ce que l'on peut en dire ?

et si leur somme vaut ? (renseignement supplémentaire)

attention: y a 3 signes moins dans la formule !!



Le signe du produit est positif

Ba si deux nombres sont positifs alors le produit sera lui aussi positif!

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 10:57

mathelot a écrit: vaut 1 par hypothèse

on calcule la somme

puis on en déduit l'autre.


Mais comment montrer que 1 est bien une racine ?

Je ne vois pas comment calculer la somme si je connais pas l'autre racine!

oscar
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par oscar » 20 Sep 2009, 11:04

Bonjour

2) f(x) = 7 (x-1)(x-b) =0 +> calcule b

Signes des racines

P<0=> 2 racines de signes contraires
=> s >0 la plus grande en valeur absolue est >0
et s >.................................................<0
et s =0
il ya deux racines opposées

P>0
b²-ac> 0=> racines de m^signe => s>0 => 2racines >0
............................................. => s <0 => 2 racines <0
b²-4ac =0=> x = -b/2a => s >0 => une racine double >0
.....................................s<0=>...........................<0
b²-4ac <0 il n' y a PAS de racines réelles

P=0=>une racine nulle l' autre = s = -b/2a
s>0; l' autre est >0
s<0, l' autre est <0
s=0, deux racines nulles


Continue en prenant -5x² -7x-2

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par mathelot » 20 Sep 2009, 11:08

Ceclepo a écrit:Mais comment montrer que 1 est bien une racine ?


on remplace l'inconnue x par la valeur 1.

on doit trouver 0.

Ceclepo a écrit:Je ne vois pas comment calculer la somme si je connais pas l'autre racine!


la somme se calcule avec les coefficients du trinome et pas avec les racines !!

exemple avec une équation de degré 3:

elle a trois racines
les fonctions symétriques sont




est-ce que tu comprends mieux avec cette généralisation ?

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par mathelot » 20 Sep 2009, 11:09

Ceclepo a écrit:Le signe du produit est positif

Ba si deux nombres sont positifs alors le produit sera lui aussi positif!



oui, mais les deux nombres peuvent être tous deux négatifs.


on résume en écrivant:

les deux nombres sont de même signe

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 11:20

Donc si je suis ton raisonnement mathelot x2 = 2/7


Signe des racines:

1er cas : Lorsque P est négatif, que peut-on dire du signe de x1 et x2 ?
2eme cas : Lorsque P est positif, que peut-on dire du signe de x1 et x2 ? ( Présiser en fonction du signe de S)

2) Application :on considére le trinôme du second degré f(x)=-5x²-7x-2 dont on admet que le discriminant est positif. Sans calcule, derterminer le signe des racines x1 et x2 .

Donc :
1)
1er Cas : x1 et x2 seront negatifs
2e cas : x1 et x2 seront positifs

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par mathelot » 20 Sep 2009, 11:30

Ceclepo a écrit:Donc si je suis ton raisonnement mathelot x2 = 2/7


oui, tout à fait.
:++:

pour la règle des signes, considérons l'exemple suivant:




si le produit est positif, par exemple 6, les nombres sont:

tous les deux positifs mais la somme vaut 5
ou
tous les deux négatifs et la somme vaut -5


@++, je dois aller tafer.

Ceclepo
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par Ceclepo » 20 Sep 2009, 11:34

Ok Merci beaucoup pour ton aide qui m'a étais trés precieuse!

Amicalement Ceclepo

 

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