Trigonométrie, valeurs exactes de sin, cos et tan

[lorinth]

Bonjour,

Je travaille en autodidacte avec le bouquin "Tout ce que vous avez appris et oublié en math" (de Jan van de Craats et Rob Bossch). Dans la partie trigonométrie, je suis coincé dans un exercice qui demande de donner les valeurs exactes de, p. ex., sin 1/8 pi, cos 1/12 pi, etc. Tant que ce sont des valeurs remarquables, ça marche.
Toutefois ça ne marche que parce que je suis un exemple donné plus haut mais dont un détail m'échappe.

Ex.
1. cos 5/12 pi = +/- √1/2 (1+cos 5/6 pi)
2. = +/-√ 1/2 (1- 1/2√3 )
3. = 1/2√ √3

Je ne comprends pas la simplification qui intervient entre la ligne 2 et la ligne 3.

A l'aveuglette, j'ai pu résoudre d'autres cas similaires, du genre sin 1/8 pi, cos 1/12 pi, mais ça me chiffonne de ne pas comprendre le raisonnement.

Un peu plus loin dans les autres ex., j'ai d'autres problèmes, mais ça fera l'objet d'une autre question...
Merci d'avance pour votre aide

[chan79]

salut
La ligne 3 me paraît fausse
une méthode en utilisant la formule cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)


ta méthode permet d'arriver à

[lorinth]

salut
La ligne 3 me paraît fausse
une méthode en utilisant la formule cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)


ta méthode permet d'arriver à

En effet, il faut lire:

3. = 1/2√ 2-√3

J'étudie le reste de ta réponse et je reviens, mais déjà un grand merci!

[lorinth]

Jusque là, je crois comprendre - mais comment passer de là à la solution:



J'ai sûrement des lacunes en arithmétiques

[chan79]

la première forme me paraît plus simple
On peut élever au carré ces deux nombres positifs pour vérifier qu'ils sont égaux
sinon (c'est un peu tordu)

à suivre dans un sens ou dans l'autre

[lorinth]

Hm... Je comprends l'égalité



mais je ne comprends pas l'égalité entre


ni entre

Merci de toute façon pour le coup de pouce!

[chan79]

on multiplie en haut et en bas par 2 (ou )

ni entre
Développe

[lorinth]

D'ailleurs, un peu plus loin, j'ai un exercice similaire: calculer la valeur exacte de sin 7/12 pi

Je procède en décomposant 7/12 en a = 1/3+ b = 1/4 (pour avoir des valeurs remarquables).

Puis j'applique la formule sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b

soit:

À supposer que mes calculs soient exacts, je me contenterais volontiers de ce résultat
Mais d'après le corrigé du bouquin, je devrais obtenir:



PS: Il m'a fallu une bonne heure pour taper le code tex Désolé si mes interventions sont un peu décalées par rapport à tes réponses. Je vais étudier maintenant ta réponse précédente...

[lorinth]

Un tout grand merci chan79, en suivant et décomposant pas à pas tes indications j'ai fini par me dépatouiller du premier exercice et à résoudre le second exercice (fort similaire) pour passer de
à la solution proposée par le livre de

[chan79]

De rien

[lorinth]

Je me permets de revenir sur l'exemple qui est donné dans le bouquin. Grâce à l'aide de chan79, j'ai pu le résoudre grâce à une addition, mais l'exemple du bouquin donne une "formule de l'arc double", selon laquelle:


L'exemple donné est:

1.
2.
3.

... et je ne comprends toujours pas comment on passe de la ligne 2 à la ligne 3 en extrayant le 1/2 de la racine. Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Réduis au même dénominateur dans la parenthèse

[lorinth]

Allons y: même dénominateur:
je distribue:
même dénominateur:





C'est juste ou je suis à côté de mes pompes?

[chan79]

Allons y: même dénominateur:
je distribue:
même dénominateur:





C'est juste ou je suis à côté de mes pompes?

oui, il manque juste un signe - à la fin

[lorinth]

J'avais oublié le "moins" en effet. Merci de m'avoir mis sur la bonne voie!