Trigonométrie

[JLISE]

Bonjour à tous,
je bute depuis un mois sur plusieurs exercices de trigonométrie. Ne voyant vraiment pas le bout du tunnel je m'adresse à vous pour avoir un peu d'aide... Merci d'avance
Dans le premier exercice je dois :Résoudre un triangle rectangle ABC , rectangle en A, Connaissant l'hypothénuse a=322,45m et la hauteur AH=h=143,35m
Je peux déjà calculer la surface en faisant S= 1/2 ah
Je sais aussi que S = 1/2bc d'où 1/2 ah=1/2bc et bc=ah dans le triangle AHC on a sin C=h/b et dans ABC sinC=c/a d'où h/b=c/a et on retrouve bien bc=ah on peut écrire aussi b=ha/c . mais après cela je coince, je ne vois pas d'issu.
Une idée?
merci d'avance

[Dlzlogic]

Bonjour,
Un exercice très comparable a été posé dernièrement.
Il me parait important de savoir dans quel contexte est posé cet exercice (quel type de formation).

[Carpate]

Bonjour à tous,
je bute depuis un mois sur plusieurs exercices de trigonométrie. Ne voyant vraiment pas le bout du tunnel je m'adresse à vous pour avoir un peu d'aide... Merci d'avance
Dans le premier exercice je dois :Résoudre un triangle rectangle ABC , rectangle en A, Connaissant l'hypothénuse a=322,45m et la hauteur AH=h=143,35m
Je peux déjà calculer la surface en faisant S= 1/2 ah
Je sais aussi que S = 1/2bc d'où 1/2 ah=1/2bc et bc=ah dans le triangle AHC on a sin C=h/b et dans ABC sinC=c/a d'où h/b=c/a et on retrouve bien bc=ah on peut écrire aussi b=ha/c . mais après cela je coince, je ne vois pas d'issu.
Une idée?
merci d'avance

BC = a
AH = h



AB et AC sont les racines de l'équation
2 racines si

[JLISE]

bonjour et merci de ton aide carpate.
J'ai bien suivis ton raisonnement mais je n'obtiens pas la même chose...
a²=(c+b)²-2ah
a²+2ah=(c+b)²
a+;)2ah=c+b


D'autre part je ne comprend pas ce qu'est ce x² . je connais la résolution de ce type de formule mais je ne vois pas bien pourquoi et comment tu passe du a² au x² ?

[Carpate]

n'est pas égal à !
on a donc à trouver b et c qui vérifient :


Il est bien connu que si l'on connaît la somme S et le produit P de deux réels (ici b et c), ces réels sont les racines de l'équation du second degré soit :

Variante : on élimine b ou c entre les 2 relations du haut :



Il faut ensuite résoudre l'équation et ne garder que sa racine positive: b_0
Puis

[Dlzlogic]

@ JLISE, Le contexte de ce calcul est secret, formation continue ? dans quelle spécialité ?
@ Carpate, le problème strictement identique a été traité tout dernièrement. Tu n'as pas compris ma méthode ?

[Carpate]

@ JLISE, Le contexte de ce calcul est secret, formation continue ? dans quelle spécialité ?
@ Carpate, le problème strictement identique a été traité tout dernièrement. Tu n'as pas compris ma méthode ?

Ah bon ! Et où est-elle ?

[chan79]

L'expression "Résoudre un triangle" est surprenante ! On peut résoudre une équation, un problème ... mais un triangle ?
Ca vient de sortir, sans doute, je ne suis plus à la page ...

[Dlzlogic]

L'expression "Résoudre un triangle" est surprenante ! On peut résoudre une équation, un problème ... mais un triangle ?
Ca vient de sortir, sans doute, je ne suis plus à la page ...

Oh non, c'est une expression bien connue dans ma confrérie. Ce n'est pas cette expression qui m'a fait poser la question, mais l'exercice.
Le terme résolution vient probablement du fait que un triangle a un grand nombre de caractéristiques (côtés, angles, aire, rayons etc.) Si il y en a suffisamment qui sont connues (normalement 3), on peut calculer tous les autres.
Il y a eu pas mal d'échanges et même Ben314 y a participé (mais je l'ai pas retrouvé).

[EDIT]
Le problème devient très intéressant quand on en connait plus, par exemple, si on connait les 3 côtés et les trois angle (par exemple parce qu'on les a effectivement mesurés) comment on fait pour résoudre le triangle ? C'est bien sûr hors-sujet de la section lycée, et ça va me valoir les quolibets moqueurs de certains, voire l'attribut d'hérétique.

[Carpate]

Oh non, c'est une expression bien connue dans ma confrérie. Ce n'est pas cette expression qui m'a fait poser la question, mais l'exercice.
Le terme résolution vient probablement du fait que un triangle a un grand nombre de caractéristiques (côtés, angles, aire, rayons etc.) Si il y en a suffisamment qui sont connues (normalement 3), on peut calculer tous les autres.
Il y a eu pas mal d'échanges et même Ben314 y a participé (mais je l'ai pas retrouvé).

Pourtant ce terme semble contemporain comme en témoigne une rapide recherche :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9solution_d%27un_triangle
http://www.documentspratiques.com/mathematiques-appliquee/resolution-des-triangles-rectangles-et-scalenes.htm
assprouen.free.fr/fichiers/.../4_resolution_des_triangles.pdf
Peut-on avoir un lien sur le fil de discussion antérieur auquel Dlzlogic fait allusion ?

[Dlzlogic]

J'arrive plus à copier des liens, il suffi de faire une recherche de 143,35 il y a 2 réponses, l'une d'il y a 5 ans avec la bonne solution, l'autre de la semaine dernière, avec tous sorte de solutions, dont la mienne.

[JLISE]

pour répondre à la question de tout le monde je suis une formation en architecture et le niveau requis est celui de seconde donc de lycée... cela fait un mois que je recherche des réponses sur divers forums et si j'avais compris comment "résoudre ce triangle" carpate ne galèrerai pas à tout me réexpliquer. :cry: Ce qui peut être évident pour certain ne l'est pas forcément pour d'autre surtout quand on replonge le nez dans les études après plusieurs années. Je ne demande pas des réponses toutes cuites mais à comprendre le fonctionnement de tout cela et un peu d'indulgence envers mon ignorance. :lol3: Si un autre topic traite de ce sujet et que je suis passée à coté donnez moi l'adresse et j'irais voir. ça m'aiderai sans doute . :help: merci

[Carpate]

pour répondre à la question de tout le monde je suis une formation en architecture et le niveau requis est celui de seconde donc de lycée... cela fait un mois que je recherche des réponses sur divers forums et si j'avais compris comment "résoudre ce triangle" carpate ne galèrerai pas à tout me réexpliquer. Ce qui peut être évident pour certain ne l'est pas forcément pour d'autre surtout quand on replonge le nez dans les études après plusieurs années. Je ne demande pas des réponses toutes cuites mais à comprendre le fonctionnement de tout cela et un peu d'indulgence envers mon ignorance. :lol3: Si un autre topic traite de ce sujet et que je suis passée à coté donnez moi l'adresse et j'irais voir. ça m'aiderai sans doute . :help: merci

Je suis tout prêt à ré-expliquer mais il faut que tu me dises jusqu'où tu comprends les explications et l'endroit où ça ne va plus
A+
Edit
Je viens de trouver le fil dont parle Dlzlogic : Forum Supérieur - Résoudre un triangle
aujourd'hui à 16h28
Effectivement si résoudre un triangle est pris dans le sens construire un triangle, sa méthode ne nécessite aucun calcul ...
@Dlzlogic: Pourquoi n'as-tu pas envoyé le message en question à JLISE ?

[JLISE]

carpate, je vois pourquoi tu me dis que ;)a²+2ah n'est pas égale à a+;)2ah. Si je mets des parenthèses en fait ça donne ;)(a²+2ah) c'est bien ça ? par contre je vais travailler un peux sur la manière dont tu arrives à b+c=;)a+2ah. Ce n'est pas encore limpide donc je vais chercher encore lol Sinon pour le reste j'ai compris qu'en fait tu procédait en remplaçant c par une valeur comprenant b de manière à ce qu'à l'équation ah=bc il n'y ai plus qu'une inconnue. Je te remercie grandement de ta patience lol Au moins maintenant j'ai compris le procédé et je saurais le refaire ce qui est le plus important. :ptdr:

[Dlzlogic]

@ JLISE,
J'avais commencé un beau message, mais je l'ai perdu.
A mon avis, la solution donnée par carpate saute des étapes importantes et devient compliquée à comprendre.
Je le laisse expliquer pourquoi Va²+2ah ne peut pas se transformer et se simplifier.

Une solution de résolution possible est de dire que l'aire de ce triangle peut se calculer de deux façons
S=1/2 b.c
S=1/2 a.h
Ensuite on applique le théorème de Pythagore : a² = b² + c²

J'ai une autre méthode, et apparemment c'est celle là qui est prévue par l'exercice.
Dans les relations des triangles rectangles, il y a une propriété importante : "Dans un triangle rectangle la hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine dur l'hypoténuse" (à savoir par cœur).
Cela s'écrit h² = a1 . a2 si on appelle a1 et a2 les deux morceaux d'hypoténuse de chaque côté du pied de la hauteur. Donc a1 + a2 = a.
Là je vous laisse continuer, mais n'hésitez pas à revenir.

[Carpate]

carpate, je vois pourquoi tu me dis que a²+2ah n'est pas égale à a+;)2ah. Si je mets des parenthèses en fait ça donne (a²+2ah) c'est bien ça ? par contre je vais travailler un peux sur la manière dont tu arrives à b+c=;)a+2ah. Ce n'est pas encore limpide donc je vais chercher encore lol Sinon pour le reste j'ai compris qu'en fait tu procédait en remplaçant c par une valeur comprenant b de manière à ce qu'à l'équation ah=bc il n'y ai plus qu'une inconnue. Je te remercie grandement de ta patience lol Au moins maintenant j'ai compris le procédé et je saurais le refaire ce qui est le plus important. :ptdr:

Je vais noter AC = b et AB = c
Relation de Pythagore dans ABC :
mais identité remarquable


b et c vérifient :
(1) :
(2) :
Dans (2) on remplace bc par ah
(2)' :
On tire c de (2) : et on le porte dans (1) :


On * par -1 :


Résolution de l'équation :

Si soit , 2 racines :

c se déduit de b par

[JLISE]

merci carpate. J'étais arrivé à la même identité mais le c²+b² m'avais échappé. Voila ce qui arrive quand on passe trop de temps sur quelque chose on finit pas ne plus vraiment la regarder. Je vais essayer aussi ta méthode dlzlogic. Tu as raison on me parle des airs de triangle. Je trouve intéressant de voir que deux méthodes très différentes peuvent venir à bout de ce problème. Si je ne trouve pas la même chose je saurais que j'ai faux sur l'une d'elle .

[JLISE]

Dizlogic,
si j'ai bien compris h²=BH . HC mais dans le triangle ABH si je prend le coté de l'angle droit BH qui est aussi une hauteur du triangle , celle-ci ne coupe pas le coté AH en 2 parties. A-t-on alors BH²=h?

[JLISE]

carpate,
au moment où tu repasse c dans le 1, tu n'aurais pas oublié le ² après le a?

Ensuite je voulais savoir parce que en regardant sur wikipedia j'ai vu que la formule pour b est
-b-;);) /2a et -b+;);) /2a c'est bien ça ? Je ne vois pas de - dans ta formule d'où ma question pour être sure

[Carpate]

merci carpate. J'étais arrivé à la même identité mais le c²+b² m'avais échappé. Voila ce qui arrive quand on passe trop de temps sur quelque chose on finit pas ne plus vraiment la regarder. Je vais essayer aussi ta méthode dlzlogic. Tu as raison on me parle des airs de triangle. Je trouve intéressant de voir que deux méthodes très différentes peuvent venir à bout de ce problème. Si je ne trouve pas la même chose je saurais que j'ai faux sur l'une d'elle .

Je fais un petit résumé de cette première méthode. c'est un peu long, j'espère que tu le liras jusqu'à la fin :
b et c sont solutions du système :
b^2+c^2=a^2
bc = ah
b est racine de l'équation : de discriminant
a) soit :
2 solutions :








2 triangles : et
On voit que ces 2 triangles sont symétriques par rapport à la médiatrice de BC

On retrouve la construction géométrique de ce triangle
Le sommet A est l'intersection du cercle (C) de diamètre BC et de la droite (D) parallèle à BC et située à une distance h de BC.
: pas d'intersection, pas de solution
: un seul sommet A car (D) est tangente à (C)
: 2 sommets A symétriques par rapport à la médiatrice de BC