DM trigonométrie

par **hand33** » 11 Fév 2010, 15:35

Bonjour, j'ai un petit problème pour faire mon devoir maison
J'ai réussi à faire la question préliminaire mais je ne vois pas comment faire pour la première et la deuxième partie :

QUESTION PRELIMINAIRE :

On considère un triangle ABC et on désigne par :
- b et c les longueurs des côtés AC et AB
- h la longueur de la hauteur issue de C
- ;) la mesure de l'angle BAC
- A(ABC) l'aire du traingle ABC
Démontrer : A(ABC)= 1/2*b*c*sin ;)
Pour cette question j'ai réussi c'est pour la suite que j'ai besoin d'aide.

PREMIERE PARTIE :

ABC est un triangle équilatéral de côté 3 u.l. et de centre de gravité G. Soit I le milieu de AB et X un point de BI. On admet que le point d'intersection de la droite XG et du côté AC existe bien : on le note Y et on pose : AX=x et AY=y
1- A l'aide d'une relation fesant intervenir l'aire du triangle AXY, démontrer l'égalité : x+y=x*y
2- En déduire une expression de y en fonction de x ( justifier que cette égalit est bien valide dans les conditions du probleme).

Pour la question 1 j'ai déjà quelques pistes. J'arrive à la relation : A(AXY)=1/2*x*y*sin60°

DEUXIEME PARTIE :

ABCS est un tétraèdre régulier d'arête 3 u.l. et de hauteur SO. Par définition, O est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC. C'est donc aussi son centre de gravité. On peut alors définir les point X et Y comme dans la première partie.
1- Exprimer en fonction de x et y les aires des triangles ASX, ASY et AXY.
2- Montrer que la somme des trois aires précédentes est : A(x) = (;)3)*x²/x-1
3- Calculer la (ou les) valeure(s) de x pour laquelle (lesquelles) l'aire A(x) est égale à la moitié de celle du tétraèdre. Interpréter géométriquement
4- Lorsque la droite XY est parallèle à BC, quelle fraction de l'aire du tétraèdre représente A(x)?

Merci d'avance pour les réponses. :we:

par **hand33** » 12 Fév 2010, 11:50

Pour aider à la réflexion j'ai déjà quelques pistes :

Décompose le triangle AXY en la somme des 2 triangles AGX et AGY et calcule l'aire de ces triangles.
Aire AXY= aire AGX + aire AGy

Le triangle ABC étant équilatéral , le point G est aussi l'orthocentre de ce triangle et le centre du cercle inscrit (voir cours de quatrième)

Si tu désignes par J l'intersection de BG avec AC alors GI=GJ et représentent les hauteurs dans les 2 triangles AGX et AGY

Donc voilà j'ai fait ça et je trouve d'un côté : A(AXY) = (GI;)3)/2 et de l'autre en utilisant la formule de la question préliminaire : A(AXY) = 1/2*y*XY*sin (AXY)

Si je pose toute l'équation, j'arrive à trouver x*y=3
Mais par contre je ne sais pas comment faire pour trouver un relation de x+y?

Merci pour les réponses :we:

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 13:25

Bonjour,

tu as bien trouvé que A(AXY) = ½*x*y*sin60° =

Tu as besoin de GI dans la suite.

La médiatrice CI peut être obtenue par Pythagore dans le triangle rectangle AIC et on a :

si on appelle a la longueur du côté du triangle ABC. On sait que cette longueur est 3.

Tu as donc :

GI est le 1/3 de la médiatrice CI.

Tu as alors :

Pour le triangle AXG, tu as bien A(AXG) = (AX*GI)/2 = x*GI/2.

Tu remplaces GI par sa valeur et tu as :

De la même manière, tu aurais (je passe le calcul) :

Comme tu as bien écrit que A(AXY) = A(AXG) + A(AYG), tu as :

En comparant les deux calculs de A(AXY), tu obtiens bien que x*y = x + y.

par **hand33** » 12 Fév 2010, 17:43

Merci beaucoup pour la réponse.
J'ai réussi à le refaire!
Maintenant je voulais savoir comment on faire pour exprimer y en fonction de x à partir de cette expression parce que j'ai essayé et je trouve des trucs qui sont pas cohérents?

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 17:58

x*y = x + y

x*y y = x

(x 1)y = x

.

Condition : x 1

0 cest-à-dire x

1.

Que se passe-t-il dans le triangle si x = 1 ?

par **hand33** » 12 Fév 2010, 18:16

Si x=1 alors avecla formule que tu nous a donné on a y=0 donc A et Y sont confondus et du coup G n'est pas le centre de gravité puisqu'il serait situé sur AB. Or dans la consigne on dit clairement que G est le centre de gravité donc la valeur 1 est impossible pour x :we: :we:

Merci beaucoup

Une autre question. Pour la question 1 de la partie 2 : pour calculer les aires ça veut dire qu'il faut qu'on refasse le même calcule que dans la question 1 partie 1??

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 18:24

Mais que dis-tu ??? Si x = 1, alors y = 0 !!!

Que non !

Si x = 1, alors x - 1 = 0 et comme le dénominateur de y = x/(x - 1) est nul, cela signifie que y n'existe pas ...

Donc, il va faloir rectifier ton tir.

La question demande d'expliquer pourquoi cette condition valide le problème. La raison est bien différente de celle que tu m'as envoyée.

par **hand33** » 12 Fév 2010, 18:30

A oui je me suis trompé :stupid_in Merci beaucoup

Si Y n'existe pas alors celane valide pas les conditions du problème puisque dans l'énoncé on nous dit qu'il existe.

Par contre comment je fais pour la première question de la partie 2? il faut que je refasse tous les calculs?

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 18:38

Sorry, mais je reviens toujours à la première question.

Médite ce que tu viens d'écrire :

puisque dans l'énoncé on nous dit qu'il existe.

Il dit qu'on admet qu'il existe! Mais pourquoi n'existe-t-il pas si x = 1.

La réponse ne doit pas être algébrique comme tu la donnes, mais plutôt une réponse graphique.

Allez, je te la livre :happy2:

Que se passe-t-il dans le triangle si x = 1 ?

Le point X est au 1/3 de [AB] à partir de A puisque AB = 3
Le point G est au 1/3 de [YB] à partir de Y puisque G est le centre de gravité du triangle ABC.

Par la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ABY, on en déduit que [GX] // [YA]. Ce qui signifierait que le point dintersection Y entre les droites GX et AC nexisterait pas. Par conséquent, la condition x

1 rend le problème possible.

Pour la question 2, il faut refaire les calculs car ils sont différents de la partie 1.

Inspire-toi de la formule de l'aire d'un triangle utilisant le sinus.

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 18:46

Deuxième partie : question 1

As-tu trouvé que :

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:04

Merci pour le conseil de la deuxième partie!

En revanche pour la justification que tu me donnes je ne suis pas d'accord! Premièrement le point X n'est pas situé au tiers de AB en partant de A car on nous dis que I est le milieu de AB et que X est un point de IB.
Deuxièmement les points BGY ne sont pas alignés et Y n'est pas le milieu de AC.

Donc pour justifier je garde celle que j'avais fait avant en disant que si x=1 alors y n'existe pas et dans la consigne on nous dit qu'il existe. Je pense que c'est ça en tout cas.

Merci quand même :we:

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:06

Je trouve ce résultat pour la mesure de l'aire de AXY mais pour les deux autres, comment fais tu??

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:15

C'est bon j'ai trouvé comment on fesait pour trouver ces valeurs!

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 19:15

OK pour ta remarque très pertinente. :id:

Je navais pas bien capté que X est sur [IB]. Comme cest le cas, on a bien que x est supérieur à 3/2 et quainsi il est bien différent de 1.

La suite

Idem pour A(ASY)

par **Hiphigenie** » 12 Fév 2010, 19:21

Pour me faire pardonner de ma négligence pour la fameuse condition, voici un petit coup de pouce

Question 2 dans laquelle on va utiliser le fait que « x + y = xy » comme cela a été démontré.

La somme des trois aires est

Je vais devoir interrompre pour ce soir.

Bonne soirée. :happy2:

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:31

Merci beaucoup pour la réponse! après réflexion j'avais trouvé toute seule!

Pour la deuxième question de la partie 2 j'arrive soit à :
- [;)3(3x+3y+x*y)]/4
- (3;)3/4)*x+y + ;)3/4*x*y

Mais je n'arrive pas a obtenir le résultat demandé :hein: :hein:

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:32

Merci beaucoup pour ton aide
Merci et bonne soirée a toi aussi :happy2: :happy2:

par **hand33** » 12 Fév 2010, 19:44

Je sais que tu ne me répondras que demain mais je voulais te poser une question par rapport à ton calcul :
Comment fais-tu pour passer de [3(x+y) + x*y] * ;)3/4 ??

Et aussi j'ai remarqué que tu avais fait une petite erreur, quand tu es à 4xy*;)3/4, les 4 se simplifient et donc on obtient xy*;)3. Ce qui permet de ne pas avoir au résultat le /4 comme dans ce que tu as mis ( dans le vrai résultat il n'y a pas ce /4)
Voilà. J'espère que tu répondras dès demain! :we:

par **Hiphigenie** » 13 Fév 2010, 06:25

La somme des trois aires est

en factorisant par

en groupant les deux premiers termes de la somme.

en factorisant la parenthèse par 3

en utilisant la relation « x + y = xy » démontrée auparavant

Tu y arrivais pourtant quand je lis ton calcul :
Pour la deuxième question de la partie 2 j'arrive soit à :
- [;)3(3x+3y+x*y)]/4
- (3;)3/4)*x+y +

3/4*x*y

Il te restait à factoriser comme je lai fait et à remplacer x + y par xy. Tu serais arrivée au résultat demandé.

Petite remarque pour la correction que tu ma signalée. Jutilise le Latex pour rendre la lecture plus facile en jouant beaucoup avec le coller-copier et le dénominateur 4 est involontairement resté dans les copiages Je relirai dorénavant ma prévisualisation avant denvoyer.
Voici pour le fun, le texte à taper pour avoir le résultat correct : A(x) = \frac{3x\sqrt{3}}{4} + \frac{3y\sqrt{3}}{4} +\frac{xy\sqrt{3}}{4} = (3x + 3y + xy).\frac{\sqrt{3}}{4} = [3(x + y) + xy].\frac{\sqrt{3}}{4} = [3xy + xy].\frac{\sqrt{3}}{4} = 4xy.\frac{\sqrt{3}}{4} = xy.\sqrt{3} = x.\frac{x}{x-1}.\sqrt{3} = \frac{x^2}{x-1}.\sqrt{3}. Tu comprends alors quil faut être vigilant avant de poster. :!:

par **hand33** » 13 Fév 2010, 10:31

Merci beaucoup pour ces précisions et tu es pardonné pour ton erreur involontaire car c'est vrai que quand on vois tout ce qu'il y a à taper c'est difficile de ne pas faire une petite erreur! :we: