Trigonométrie : equation avec paramètre

[Arnaud G]

Bon voilà ma question telle quelle :

L'équation 2 cos (2x) - 2 m cos x + 1 = 0 admet une seule racine dans l'intervalle [-pi/2 ; pi/2],

si

1) m <= (plus petit ou égal ) - 3/2
2) -3/2 <= m <= 3/2
3) m < -3/2 ou m > 3/2
4) m = 3/2

Laquelle des quatre réponses est la bonne.

Bon voilà, je cale, sinon je ne serais pas ici, ce que j'aimerais savoir, c'est par où commencer et comment s'y prendre pour résoudre la problème...

Merci beaucoup.

[Clembou]

Bon voilà ma question telle quelle :

L'équation 2 cos (2x) - 2 m cos x + 1 = 0 admet une seule racine dans l'intervalle [-pi/2 ; pi/2],

si

1) m 3/2
4) m = 3/2

Laquelle des quatre réponses est la bonne.

Bon voilà, je cale, sinon je ne serais pas ici, ce que j'aimerais savoir, c'est par où commencer et comment s'y prendre pour résoudre la problème...

Merci beaucoup.

Il faut développer le par une formule de trigo (que tu dois connaitre). Après, c'est juste une résolution d'équations du second degré. :++:

[Arnaud G]

ouais mais justement ça marche pas :s :marteau:

2 cos (2x) - 2 m cos x + 1 = 0

2 cos ² x - 2 sin ² x - 2 m cos x + 1 = 0

4 cos ² x - 2 - 2 m cos x + 1 = 0

4 cos ² x - 2 m cos x - 1 = 0

c'est après le problème ... je fais le delta ok et puis je trouve un truc composé de m, mais comme j'ai deux inconnues, ça m'aide pas quoi ...

[Clembou]

ouais mais justement ça marche pas :s :marteau:

2 cos (2x) - 2 m cos x + 1 = 0

2 cos ² x - 2 sin ² x - 2 m cos x + 1 = 0

4 cos ² x - 2 - 2 m cos x + 1 = 0

4 cos ² x - 2 m cos x - 1 = 0

c'est après le problème ... je fais le delta ok et puis je trouve un truc composé de m, mais comme j'ai deux inconnues, ça m'aide pas quoi ...

Tu trouveras des racines en , le tout est de savoir laquelle est dans le bon intervalle et trouver le m correspondant.

(Désolé :triste: je peux pas t'aider plus sur cet exercice)...

[Arnaud G]

je n'ai jamais étudié les arc cos c'est quoi?

[Clembou]

je n'ai jamais étudié les arc cos c'est quoi?

C'est la fonction inverse du . Alors bon ! Je peux juste te donner une piste : essaies de faire un changement de variable. Pourquoi pas :

[oscar]

Bonjour

4cos²x -2m cos x-1 = 0 où m est un paramètre invariable
poser cos x = y
=> 4y² - 2my -1=0
La question revient à étudier la position des racines du trinôme
f(y) par rapport aux nombres -1 et +1
le quotient du terme indépendant par le coéfficienrt de y² est négatif
c/a = -1/4 ou P <0 ( référence au trinôme ax²+bx+c)
f(y) admet deux racines de signes contraires y1 <0et y2>0 par exemple qui doivent appartenir à [ -1;1]
]
A suivre.. je dois réfléchir

[Euler911]

Bonjour,

Moi j'en suis arrivé là:



Or -

Donc:


... Et j'ai trouvé une solution:D

[Clembou]

Bonjour

4cos²x -2m cos x = 0 où m est un paramètre invariable
poser cos x = y
=> 4y² - 2my -1=
La question revient à étudier la position des racines du trinôme
f(y) par rapport aux nombres -1 et +1
le quotient du terme indépendant par le coéfficienrt de y² est négatif
c/a = -1/4 ou P 0 par exemple qui doivent appartenir à [ -1;1]
]
A suivre.. je dois réfléchir

Ralala ! C'est frustrant de poster des messages alors que j'allais l'aider point par point. :hum: Vous feriez mieux de relire le réglement du forum...

[Arnaud G]

Bonjour,

Moi j'en suis arrivé là:



j'étais arrivé jusque là, mais le truc avec les cosinus je n'y avais pas pensé, moi j'avais remplacé dans la première équation avec ma solution, mais tout se supprime, merci beaucoup.

[Arnaud G]

Clembou ... pourrais tu m'expliquer étape par étape s'il te plait =)

J'ai trouvé les deux racines (avant qu'ils les postent)

mais la suite je n'ai toujours pas compris en fait ...

je compte donc sur toi :$

merci (ou si quelqu'un d'autre veut se dévouer pour m'aider étape par étape ce serait gentil :$) merci

[Clembou]

Clembou ... pourrais tu m'expliquer étape par étape s'il te plait =)

J'ai trouvé les deux racines (avant qu'ils les postent)

mais la suite je n'ai toujours pas compris en fait ...

je compte donc sur toi :$

merci (ou si quelqu'un d'autre veut se dévouer pour m'aider étape par étape ce serait gentil :$) merci

Ok ! C'est demander si gentillement... Tu en es où là ? Où est-ce que tu bloques ?

[oscar]

Je dois m' excuser pour mon retard

a) y1 convient si -1<=> af(-1) ou 4 f(-1) = .......>0 ou m> - 3/2
b) y2 convient
si 4 f( 1) =........>0 ou m < 3/2
c) Conclusions
2racines acceptables si m € [ -3/2;3/2] = I
U E racine acceptable si m extérieur à I
d) Si m = -3/2, f(y) admet 2 racines acceptables..-1 et 0,25
si m= 3/2, f(y) admet aussi 2 racines acceptzables...+1 et 0,25

Tout cela se base sur la théorie de la position d' un réel par rapport aux racines d' un trinôme du 2e degré
en utilisant P et af( y1) ou af(y2)
Il faut encore calculer x dans y = cos x

[oscar]

Je dois m' excuser pour mon retard

a) y1 convient si -1<=> af(-1) ou 4 f(-1) = .........)>0 ou m> - 3/2
b) y2convient
si 4 f( 1) =........>0 ou m <[ 3/2
c) Conclusions
2 rracines acceptable si m € [ -3/2;3/2] = I
1 racine acceptable si m extérieur à I
d) Si m = -3/2, f(y) admet 2 racines acceptables............
si m= 3/2, f(y) admet aussi 2 racines acceptzables..........A calculer

Tout cela se base sur la théorie de la position d' un réel par rapport aux racines
en utilisant P et af( y1) ou af(y2)
Il faut encore calculer x dans y = cos x

[Arnaud G]

Ok ! C'est demander si gentillement... Tu en es où là ? Où est-ce que tu bloques ?

4 cos ² x - 2 m cos x - 1 = 0

on pose y = cos x :

4 y² - 2m y - 1 = 0

delta : 4 m ² + 16 = 4 . (m²+4)

y = [ 2 m +- 2 radical (m²+4) ] / 8 = (m+- radical (m²+4)) / 4

ensuite, on sait que c'est compris entre -1 et 1 :

-1 < (m+- radical (m²+4) ) /4 < 1

on multiplie tout par 4

-4 < m +- radical (m²+4) < 4

ensuite je sais plus quoi faire ^^

au fait, je mets des "<" mais c'est plus petit ou égal.

[oscar]

Theoriie appliquée dans le problème de trigo


http://img228.imageshack.us/img228/4143/positiondealphapg4.jpg

[Arnaud G]

oui mais ça va me servir à quoi?

comment je l'applique dans mon cas pour trouver comme réponse une des 4 proposées?

[xyz1975]

Tout cela se base sur la théorie de la position d' un réel par rapport aux racines d' un trinôme du 2e degré

Oui c'est la localisation des solutions d'un trinôme de second degré par rapport à un réel, mais ici il fallait choisir 0 et 1 et non -1 et 1.

[Arnaud G]

bon je fais comment alors :mur:

[Euler911]

Bonsoir,

On te demande de trouver la valeur de m tesl que 4cos²x-2mcos x-1=0 n'ait qu'une seule solution dans ]-pi.2;pi/2[.

On a trouver que

Or pour qu'il n'y ai qu'une seule racine dans ]-pi.2;pi/2[ il faut que cos x=1 (cf. cercle trigonométrique)

Je te laisse conclure;)