Trigonométri

[Libie]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire qui doit nous préparer à un contrôle, mais je n'y arrive pas du tout, j'ai toujours eu du mal en trigo ....
M appartient au demi-cercle de diamètre [AB], de centre O, et rayon 1, H est son projeté orthogonal sur [AB]. On note t la mesure en radian de BÂM, telle que 01. donner une mesure en radian de BÔM.
2. En déduire que l'aire du triangle HAM est égale à f(2t) où f(x)=1/2 (1+cos x) sin x.
3. a. Montrer que f'(x)= (cos x-1/2) (1+cos x).
b.étudier le signe de (1+cos x) et de cos x- 1/2 sur [0;pi[
c.en déduire le signe de f'(x) sur [0;pi[
4. Est il possible que l'aire du triangle HAM soit supérieure à 0.5 ? Si oui pour quels points M ?
En fait à la 1 j'ai trouvé que BÔM = 2t
Et au 2 j' suis arrivée et au 3.a aussi, donc vous pouviez m'expliquer le 3.b le 3.c et le 4 s'il vous plait

[C.Ret]

Bonjour,

As-tu commencé par faire une figure?

Que proposes-tu pour calculer BÔM ?

[Libie]

oui oui et en fait j'ai compris on sait que le triangle est isocèle comme [OA]=[OM]
on sait que OÂM = OMA = t
et que la somme des angles c'est 180° = pi
donc AÔM = pi - 2t
BÔM =AÔB-AÔM = 2t

[C.Ret]

oui oui et en fait j'ai compris on sait que le triangle est isocèle comme [OA]=[OM]
on sait que OÂM = OMA = t
et que la somme des angles c'est 180° = pi
donc AÔM = pi - 2t
BÔM =AÔB-AÔM = 2t

Je comprends que le triangle isocèle est AOM. Ok tu aurais pu l'écrire cela m'aurait évité d'avoir à cherhcer.

Donc effectivement les anbgles OÂM et OMA on même mesure t.
Le total des angle d'un triangle faisant pi, on a bien AÔM = pi - 2t

Mais pourquoi AÔB-AÔM = 2.t ??

[Libie]

Et maintenant je galère sur la 3.b, c et la 4 ...

[Libie]

Je ne comprends pas , quel triangle est isocèle ?

Le triangle AMO est isocèle en O

[Libie]

Je comprends que le triangle isocèle est AOM. Ok tu aurais pu l'écrire cela m'aurait évité d'avoir à cherhcer.

Donc effectivement les anbgles OÂM et OMA on même mesure t.
Le total des angle d'un triangle faisant pi, on a bien AÔM = pi - 2t

Mais pourquoi AÔB-AÔM = 2.t ??

En fait on sait que l'angle AÔB = pi
et l'angle AÔM=pi -2t
et l'angle BôM= AÔB-AÔM = pi-(pi-2t)
Mais j'ai un dessin de ce demi cercle sur la copie mais j'ai pas réussi à la mettre avec l'énoncé :s

[C.Ret]

Ok, c'est pas grave.
Je poste mon shéma.




Je n'ai pas non plus compris comment on arrive à montrer que l'aire de HAM est f(2t) ?

[Libie]

Ok, c'est pas grave.
Je poste mon shéma.




Je n'ai pas non plus compris comment on arrivé à montrer que l'aire de HAM est f(2t) ?

En fait le schéma n'est pas exactement comme ça le point M se trouve vers le point B donc vers le cosinus positif.
J'ai dis que AH = 1+OH comme dans l'énoncer le demi cercle est de rayon 1.
AO=1 et OH= cos BÔM et HM=sin BÔM
et comme c'est un triangle rectangle j'ai mis (HM*AH)/2= [(sin BÔM)*(1+cos BÔM)]/2 =1/2*(1+cos 2t)*(sin2t) comme on a vu que BÔM = 2t

[C.Ret]

Oui, excuse moi, j'ai collé la mauvaise figure !!



AH = 1+OH = 1 + cos 2t OK !
HM = sin 2t OK!

La surface d'un triangle c'est le moitier de coté x hauter OK !

DOnc on a bien S(HAM)=f(2t) avec f(x) = .5* (1+ cos x)*(sin x) OK !


Très très bien.

Bon maintenant il faut dériver f(x) par rapport à x.

On sait que k*(u.v)' = k*(u.v' + u'.v )

On a k=0.5, u=(1+cos x) et v=sin x

d'où u' = ...

et v ' = ...

[Libie]

Oui, excuse moi, j'ai collé la mauvaise figure !!



AH = 1+OH = 1 + cos 2t OK !
HM = sin 2t OK!

La surface d'un triangle c'est le moitier de coté x hauter OK !

DOnc on a bien S(HAM)=f(2t) avec f(x) = .5* (1+ cos x)*(sin x) OK !


Très très bien.

Bon maintenant il faut dériver f(x) par rapport à x.

On sait que k*(u.v)' = k*(u.v' + u'.v )

On a k=0.5, u=(1+cos x) et v=sin x

d'où u' = ...

et v ' = ...

j'ai mis
u'=-sinx
v'=cosx
f'(x)= 1/2[ (-sinx)*sinx+cosx*(1+cox)]
= -1/2 sinx^2+1/2cos x+1/2cox^2
= -1/2(1-cosx^2)+1/2cos x+1/2cox^2
= -1/2+cosx^2+1/2cos x

[Libie]

j'ai remplacé sinx^2 car sinx^2+cosx^2=1

[C.Ret]

En fait, moi je remplace par

Je reprends :



Je remplace par :




Or, est de la forme , je remplace par :


Je factorise par :

[Libie]

En fait, moi je remplace par

Je reprends :



Je remplace par :




Or, est de la forme , je remplace par :


Je factorise par :

Ha d'accord mais je ne comprends pas pourquoi on a le droit de remplacer cosx^2 par 2cosx^2 comme la formule c'est sinx^2+cosx^2=1 ?

[Libie]

Mais on peut aussi s’arrêter comme j'ai fait puis développer f'(x) et on tombe sur le même résultat mais je ne sais pas si on a le droit de faire comme ca

[C.Ret]

Mais on peut aussi s’arrêter comme j'ai fait puis développer f'(x) et on tombe sur le même résultat mais je ne sais pas si on a le droit de faire comme ca

Si si tu as le droit ce que tu a fait est tout aussi juste, et en plus plus court. Mais je ne vois pas comment tu factorise.

P.S.1:
Je ne remplace pas , j'écrit juste

P.S.2:
A partir de on peut montrer que

Etude de signe
Sur [ 0 ; PI [, cos x varie de 1 à -1 et s'annule en PI/2
Donc
sur [ 0 ; PI [ , (1+cos x) varie de 2 à 0 et vaut 1 en PI/2
sur [ 0 ; PI [ , (-.5+cos x) varie de .5 à -1.5 et vaut -.5 en PI/2

Donc ,
sur [0 ; PI [ , f'(x) varie de 1 à -.5

[Libie]

Mais je n'es pas factorisé le -1/2 +cosx^2 +1/2cosx
je l'ai laissé tel quel et après j'ai développé f'(x) = (cosx-1/2) (1+cosx)
f'(x)=cosx+cosx^2 -1/2 -1/2cosx
f'(x)=1/2cosx+cosx^2-1/2
f'(x)=-1/2 +cosx^2 +1/2cosx
donc les deux sont égaux donc f'(x)=(cos x -1/2) (1+cosx)