[seconde] triangles semblables

[Anonyme]

ABC est un triangle isocèle et rectangle, inscrit dans un demi-cercle de
diamètre [BC].

Soit D le milieu de [AC] ; la droite (BD) recoupe le demi-cercle en E. Soit
F le projeté orthogonal de E sur [AC].

1°) Démontrer que ADB, DEF et FEC sont semblables.

2°) En déduire que EF = 2DF et FC = 2 EF



Je ne sais pas comment montrer que les triangles DEF et FEC sont semblables.

(ADB et DEF semblables se démontre immédiatement en utilisant Thalès)



Merci de votre aide

[Anonyme]

MALHERBE Hugues a écrit:
> ABC est un triangle isocèle et rectangle, inscrit dans un demi-cercle de
> diamètre [BC].
>
> Soit D le milieu de [AC] ; la droite (BD) recoupe le demi-cercle en E. Soit
> F le projeté orthogonal de E sur [AC].
>
> 1°) Démontrer que ADB, DEF et FEC sont semblables.
>
> 2°) En déduire que EF = 2DF et FC = 2 EF
>
>
>
> Je ne sais pas comment montrer que les triangles DEF et FEC sont semblables.
SAns doute le fait que DEC est rectangle en E joue t il un rôle :
soit x l'angle formé par la droite EF et la droite BD
soit y l'angle formé par la droite EF et la droite EC
alors x+pi/2+y=pi donc x+y=pi/2
comme les 2 triangles sont rectangles en E... leurs angles sont égaux 2 à 2.

> Merci de votre aide
de rien

[Anonyme]

Merci pour l'aide.

"Paul Delannoy" a écrit dans le message de news:
407C08FC.7080302@univ-lemans.fr...
> MALHERBE Hugues a écrit:[color=green]
> > ABC est un triangle isocèle et rectangle, inscrit dans un demi-cercle de
> > diamètre [BC].
> >
> > Soit D le milieu de [AC] ; la droite (BD) recoupe le demi-cercle en E.[/color]
Soit[color=green]
> > F le projeté orthogonal de E sur [AC].
> >
> > 1°) Démontrer que ADB, DEF et FEC sont semblables.
> >
> > 2°) En déduire que EF = 2DF et FC = 2 EF
> >
> >
> >
> > Je ne sais pas comment montrer que les triangles DEF et FEC sont[/color]
semblables.
> SAns doute le fait que DEC est rectangle en E joue t il un rôle :
> soit x l'angle formé par la droite EF et la droite BD
> soit y l'angle formé par la droite EF et la droite EC
> alors x+pi/2+y=pi donc x+y=pi/2
> comme les 2 triangles sont rectangles en E... leurs angles sont égaux 2 à
2.
>[color=green]
> > Merci de votre aide
> de rien
>[/color]

[Anonyme]

"MALHERBE Hugues" a écrit dans le message news:
c5ebug$bg7$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> ABC est un triangle isocèle et rectangle, inscrit dans un demi-cercle de
> diamètre [BC].
>
> Soit D le milieu de [AC] ; la droite (BD) recoupe le demi-cercle en E. Soit
> F le projeté orthogonal de E sur [AC].
>
> 1°) Démontrer que ADB, DEF et FEC sont semblables.
>
> 2°) En déduire que EF = 2DF et FC = 2 EF
>
>
>
> Je ne sais pas comment montrer que les triangles DEF et FEC sont semblables.
>
> (ADB et DEF semblables se démontre immédiatement en utilisant Thalès)
>
>
>
> Merci de votre aide
>
>
>
Bonjour,

Avec un peu de retard, voila comment je démontre que le triangle FEC est semblable au
triangle DEF :

Si ton triangle ABC, inscrit dans un cercle dont on appellera le centre "O", est rectangle
en A (donc l'angle inscrit BAC = 90°), alors l'angle au centre BOC = 180° en vertu du
"théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre" (à savoir : l'angle inscrit = 1/2 *
l'angle au centre).
Toujours en vertu du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre, l'angle inscrit
BEC = 1/2 * l'angle au centre BOC.
Donc BEC = 1/2 * 180° = 90°.

D'autre part, on sait, par construction, que l'angle EFC = 90° également (puisqu'il y a
projection "orthogonale").

Enfin, en vertu de l'égalité des angles opposés par le sommet, l'angle ADB = l'angle CDE.

En résumé, les angles :
BAC = BEC = EFC
ADB = CDE

De ces égalités (et sachant que la somme des angles d'un triangle = 180°), on tire :
Les angles BAC (= BEC) + ADB (= CDE) + ABD = 180° = BEC + CDE + DCE
Donc l'angle ABD = l'angle DCE
et :
Les angles BAC (= EFC) + ABD (= DCE) + ADB = 180° = EFC + DCE + FEC
Donc l'angle FEC = ADB

On vient de démontrer que les angles :
BAC = EFC
ABD = DCE
ADB = FEC

Ayant des angles de mêmes valeurs (deux à deux), les triangles ADB et FEC sont semblables.
Or, tu l'as dit toi-même, on montre facilement par le théorème de Thalès que le triangle
DEF est également semblable au triangle ADB.
On a donc l'égalité ("="signifie ici "semblable") : triangles DEF = ADB = FEC. D'où : DEF
= FEC.


J'espère n'avoir pas été trop brouillon. Je ne doute pas qu'il y ait plus simple (parce
que je fais rarement dans la simplicité), mais pour ça, je laisse la parole aux autres.

Gibbs.