Triangles, cercles et suites : c'est compliqué

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 15:49

[FONT=Comic Sans MS]J'ai un exercie à faire sur les suites mais je ne m'en sors pas :cry:

:help: Pourriez-vous m'éclairer? :id:

Voilà l'énoncé :

Soit un triangle équilatéral de côté c1 ; on trace le cercle inscrit dans ce triangle et on désigne son rayon par r1
Dans le cercle obtenu, on inscrit un triangle équilatéral et on désigne son côté par c2
On trace le cercle inscrit dans ce nouveau triangle et on désigne son rayon par r2
En recommançant le processus, on fait intervenir deux suites (cn) et (rn)

a) calculer r1 en fonction de c1, puis c2 en fonction de c1
b) calculer c n+1 en fonction de cn puis r n+1 en fonction de rn
c) en déduire les expressions de cn puis de rn en fonction de n et de c1
d) calculer la somme des aires des n premiers triangles dessinés
cette aire a-t-elle une limite lorsque n tend vers +l'infini?
e) même question pour la somme des aires des n premiers cercles dessinés

Merci beaucoup pour votre aide et pour le temps que vous m'avez consacré :++: :happy: [/FONT]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 16:24

Bonjour
1. Dans untriangle équilatéral, le centre du cercle inscrit et le centre de gravité sont confondus; Le centre de gravité se trouve au tiers de chaque médiane à partir de la base et dans un triangle équilatéral, une médiane a pour longueur

donc

Si on prend pour second triangle équilatéral celui dont les sommets sont les points de tangence du premier cercle, on a immédiatement

voila pour démarrer. Bon courage

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 16:26

[FONT=Comic Sans MS]mais comment démontrer la valeur c racine de 3 sur 2
C'est quelque chose qui est admis?[/FONT]

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 16:33

[FONT=Comic Sans MS]Je b'ai pas compris :doh: comment trouver pour le deuxième triangle, pourriez-vous m'expliquer? [/FONT]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 16:42

Dans le triangle équilatéral ABC de côté c, on trace la hauteur [AH] (qui est aussi médiane), on peut appliquer le théorème de Pythagore ou la trigonométrie du triangle rectangle avec

Le cercle inscrit au premier triangle est tangent à chaque côté du triangle au milieu de chacun d'eux et le second triangle a pour sommets les 3 points de tangence , c'est bien un triangle équilatéral car chaque côté a pour longueur la moitié de

(Droite des milieux)

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 16:45

[FONT=Comic Sans MS]merci beaucoup :id: là je comprend mieux!!!
Pourrais-je encore vous demandez une petite aide?[/FONT]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 16:49

Bien sur. Essaie de continuer et vois les endroits qui te posent problème.

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 16:55

[FONT=Comic Sans MS]pour exprimer c n+1 en fonction de cn, j'ai écrit cn+1 = 1/2 cn (en utilisant la question 1) mais pour exprimer r n+1 en fonction de rn , je ne vois pas du tout comment faire :doh: [/FONT]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 17:12

En généralisant la première question

donc en inversant

et

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 17:28

[FONT=Comic Sans MS]je regarde la suite si ça vous embéte pas[/FONT]

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 17:32

[SIZE=2][FONT=Comic Sans MS]pour la question c, on a aucune information sur n, quelle expression utilisée? :doh: [/FONT][/SIZE]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 17:37

Il faut donner des réponses fonction de n, ce n'est pas très compliqué car il s'agit de suites géométriques de raison 1/2 , il suffit d'appliquer le résultat général mais attention, le premier terme de chacune a pour indice 1.

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 17:44

[SIZE=1][FONT=Comic Sans MS]donc pour cn et rn ce sera la même réponse
je pose alors un = u1 * q (puissance) n
j'obtiens par exemple cn = c1 * (1/2) puissance n
mais pour rn = r1 * (1/2) puissance n
sauf que on veut rn en fonction de n et de c1 donc je suis bloquée[/FONT][/SIZE]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 17:54

Comme le premier terme est de rang 1 on a

De même

(en utilisant le résultat de la première question)

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 18:12

[FONT=Comic Sans MS]merci beaucoup je regarde la suite[/FONT]

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 18:22

[FONT=Comic Sans MS]pour faire la somme des aires, je calcule juste pour les 2 triangles dessinés ou je vais jusque n?[/FONT]

par **becirj** » 20 Nov 2005, 18:27

D'après le texte, il faut aller jusque n.
Tu peux montrer que les aires successives constituent une suite géométrique de raison 1/4. Ce que tu dois calculer est donc la somme de n termes d'une suite géométrique et il y a une formule de cours pour faire ce calcul.

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 18:36

pour calculer l'aire je dois faire base * hauteur divisé par 2 mais comment j'obtiens la longueur de la hauteur?

par **becirj** » 20 Nov 2005, 18:54

Tu n'as besoin que de calculer l'aire du premier triangle.
Le calcul de la hauteur a été fait dans la première question

par **alexjo59** » 20 Nov 2005, 19:07

[FONT=Comic Sans MS]j'essaye de faire ça et je regarde le reste[/FONT]

Triangles, cercles et suites : c'est compliqué

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