Triangle orthique

[manu18ck]

Soit ABC un triangle et HaHbHc son triangle orthique (ie Ha est le projeté de A sur BC,...) M et N les symétrique de Ha par raport aux droite (AB) et (AC). montrer que MNHbHc sont alignés

par 2 méthode dont une qui utilise le fait que AHa est bissectrice de HcHaHb

merci de m'aider car je seche!

[oscar]

Bonjour
Voici une image du triangle orthique
A'=Ha;B' =Hb; C' =Hc
M est le symétrique de "Ha" par rapport à AC,M est sur le cercle
de diamètre AC
N.......................................................AB;N.......................................AB
M;Hb:Hc;N alignés
http://img50.imageshack.us/img50/8456/triangleorthiqueli5.gif



Extrait du WEB( voir triangle orthique)

[oscar]

Re bonsoir

Pour montrer que AA' est bissectrice de B'A'C' on demontre

A'AB =A'B'B (arc intercepté:A'B' du cercle de diam AB
C'CB =C'B'B (arc intercepté:C'B du cercle de diam.BC

Attention C' =Hc: B' =Hb et A' = Ha
A'AB =C'CB ( ¨m complément :AHC'=CHA')(triangles rectanglesAHC' et CHA')à
Donc AA'B' = AA'C'

Tu dois bien examiner la figure :++:

[oscar]

bONJOUR
Voici une autre démonstation
DONNEES Tr ACB de hauteurs AA',BB',CC' se coupant en H
On a le triangle "orthique A'B'C'
M symétrique de A' par rapport àAC
N......................................... AB
N.B.A' = Haa;B' =Hb et C' =Hc

DEMANDE
1°)AA';BB':CC' bissectrices intérieures des angles A';B';C'
2°)M;B'C'.N alignés

DEMONSTRATION
1°)1)CB'HA' inscriptible car ^CB'H = ^CA'H = 90° (hypoth)
Donc Angles a' = a (angles inscrits: mesure 1/2 B'H)

2)BC'HA' inscriptible car ^BC'H = ^HA'B=90°(HYP)
Donc b= b' ( mesure = 1/2 C'H)

3)A' = b' angles aigus des triangles rectangle égaux B'HC et BHC'
Car H1 =H2 (( opposés par lr sommet)

4)Il en résulte que
a' = a'=b'=b=> a=a'=> AA' bissectrice de A'
De même BB4 bissectrice de B' et CC' bissectrice de C' du triangle A'B'C' :happy2:

[oscar]

Rebonjour
Voici la suite

2) M;B':C';N alignés
M = ^C'B'B (correspondants formés par MA' //BB' comme perpendiculaires à AC)

N = ^CC'B' (....................................NA'//CC'.....................................AB :briques: http://img460.imageshack.us/img460/304/triangleorthique2oi3.jpg

[manu18ck]

pourrait tu détailler comment on montre que les points sont alignés je comprend la demo avec les angles mais pas l'autre merci

[oscar]

Bonsoir

j'ai envisagé le cas où MB' et NC' forment une m^droite en montrant les
angles en B' et M sont =;et de m^ceux en N et C'

B'H et HC' forment un angle plat en H?
On peut aussi considé :cry: rer les angles CA'B' et BA'C 'egaux enremarquant que a = b
Voila des pistes
Je continue à chercher et toi aussi..

[oscar]

Me revoici

J' ai trouvé une méthode
Attention aux " ' "
a)
BB'_|_AC (hauteur)=> ^CB'A'+^A'B'B = pi/2
BB' bissectice de A'B'C'=> BB'A'=NB'B
Donc NB'B'+A'B'B = pi/2(1)

b! De même B'C'C + CC'A' = pi/2(2)

c) En réunissant (1) et (2) on a B'C'C+CC'A' + NB'B+A'B'B = pi/+pi/2=pi

d)Donc B'; c', N sont alignés (angle plat)

e) De même C';B';M alignés
f)M;B';C';N sont donc alignés

[yos]

Cette solution, Manu18ck l'a eue dés le début, mais ce sont les méfaits du multipostage.
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=36862

[oscar]

Bonjour

Pour clore cette étude voici la fi :bad: gure

[manu18ck]

je chercher une autre méthode:

la composé des reflexions d'axes (AB) et (CC') est la symétrie de centre C'
(car c'est la rotation de centre C'=(AB)inter(CC') d'angle 2x Pi/é)
qui envoie M sur B' d'ou MB'C' aligné idem avec N

c'été pas compliqué mais fallait y penser! ++

[yos]

C'est une très bonne méthode, mais c'est peu différent de l'autre : tu utilises la bissectrice (CC') de A'C'B'.