Triangle et droite d'Euler

[Aileron]

Je cherche depuis des jours et pourtant je sens que c'est évident mais je ne vois rien. Si quelqu'un peut m'aider :

Soit ABC, un triangle.
Soit G son centre de gravité
Soit O le centre du cercle circonscrit
Soit H son orthocentre

Montrer que GO = -1/2 GH. (ce sont des vecteurs, je ne trouve pas la notation).

Quelqu'un a une idée aussi mince soit-elle? Je ne sais pas quoi chercher...

[el niala]

il y a plusieurs façons de le démontrer, la plus élégante (à mon humble avis) au lycée, c'est la vectorielle
tu peux regarder ici http://serge.mehl.free.fr/anx/dte_euler.html par exemple

[oscar]

Bonsoir

Déterminer le point D symeytrique par rapport à 0

Montrer
a) (BH) // (CD)
b)(CH// (BD)

c) Défuire que I(G) est le milieu de [DH]

d) Que reptésent (AI ) dans le triangle AHD ?

G aussi centre de gravite de ce triangle

[oscar]

figure


http://imageshack.us/photo/my-images/822/euler.jpg/

[Aileron]

Bonsoir

Déterminer le point D symeytrique par rapport à 0

Montrer
a) (BH) // (CD)
b)(CH// (BD)

c) Défuire que I(G) est le milieu de [DH]

d) Que reptésent (AI ) dans le triangle AHD ?

G aussi centre de gravite de ce triangle

Euh, je ne suis pas sûr de comprendre peut-être parce qu'il n'y a pas de point D ni de point I dans mon énoncé. On parle de la même chose?

En tout cas, j'en suis à étudier les autres réponses, je cherche encore mais merci à tous pour l'aide c'est très utile!

[Aileron]

ET dernière chose : comment on fait pour déduire que G O et H sont alignés? Dans la preuve précédente on arrive à GO= -1/2 GH ... est-ce que ça le prouve? On voit qu'il existe un scalaire permettant de passer de GO à GH, est-ce que c'est suffisant pour démontrer que G, O et H sont alignés?

[el niala]

si "dans la preuve précédente" était celle du lien que je t'avais donné, et si tu connais les vecteurs

avec la figure du lien

on pose K tel que or // (AH)
par symétrie, on montrerait que (BK)//(BH) et (CK)//(CH), donc K est confondu avec H
et

de même par la relation du centre de gravité

on en déduit qui montre la colinéarité des 3 points et plus encore

[Aileron]

de même par la relation du centre de gravité

on en déduit qui montre la colinéarité des 3 points et plus encore

J'ai compris la démo dans ton lien, je me demandais juste si : quand on a démontré OH= 3OG, c'est suffisant pour prouver que les points O, G et H sont alignés?

[el niala]

bien sûr, les 2 vecteurs sont colinéaires et ont un point commun O