Triangle (1ère S)

[lionromeo]

Bonjour,
J'ai quelques soucis avec un exercice.
Voici l'énoncé:

Les points B et C étant donnés tels que BC = 10cm, on cherche tous les points A tels que le triangle ABC ait pour aire 24cm² et pour périmètre 24cm.

1-Calculer p pour un tel triangle et en déduire une relation entre b et c.

P=24 et a=10 (car c'est le côté BC)
D'où
24=a+b+c
24-10=b+c
14=b+c

2-A l'aide de la formule de Héron, montrer que b est solution de l'équation:
=> x²-14x+48=0
Formule de Héron=> S=


3-En déduire les dimensions possibles des triangles solutions. Sont-ils tous solutions?

Merci d'avance.

[mathelot]

Bj,

On peut calculer la hauteur h relative à [BC]

Le sommet A est situé sur une des deux droites parallèles
à (BC) à une distance h=4,8 cm

l'ensemble des points M tels que

MB+MC=14 cm est une ellipse de foyers B et C

A est donc situé à l'intersection d'une droite et d'une ellipse
(2 x 2 solutions).

Un point de cette ellipse est sur la médiatrice de [BC]
à une distance 7cm à la fois de B et de C.

Un des grands axes vaut donc
d'après Pythagore

L'ellipse coupe la droite (BC) en deux points.
Cherchons ses abscisses

MB+MC=14
(x-5)+(x-(-5))=14 d'où x=7
(-5-x)+(5-x)=14 d'où x=-7

L'autre grand axe (porté par (BC)) vaut donc 14cm

Bon, pour tracer une ellipse en 1ère, faut demander au jardinier
du lycée car:
- c'est pas au programme
- tous les jardiniers savent tracer des ellipses :doh:

on va chercher une solution calculatoire (prochain post)

[lionromeo]

Merci, mais c'est quoi une ellipse?

[mathelot]

Posons

c=AB
b=AC
a=BC


b+c=14

Pour connaitre b et c , il reste à déterminer le produit bc

avec la formule de Héron




on calcule le produit bc puis le trinome
dont b et c sont racines.

[mathelot]

une ellipse est un cercle aplati.

La Terre tourne autour du soleil en 365,25.... jours selon une ellipse
(Lois de Képler)

[mathelot]

Bon, détaillons :doh:

écrivons la formule de Héron




(demi-périmètre de ABC)




il reste


ce produit est symétrique en b et c, ie, il ne change pas de valeur
quand on échange b et c.
Il s'écrit donc fonction de b+c et bc (en développant)




bc=48 et b+c=14

b et c sont solutions de l'équation
d'inconnue Z.

on connait donc les longueurs des 3 côtés a,b,c
A est sur une parallèle à distance h=4,8 cm de (BC)
et à l'intersection de deux cercles.

[lionromeo]

Comment trouve tu ça?

[mathelot]

Comment trouve tu ça?

calcul mental :we: