Travail sur les suites

[rog20]

Bonjour,
J'ai un DM récapitulatif sur les suites (désolé le sujet est un peu long) :

Une entreprise produit des biens dans 3 ateliers de production, A, B et C.
En 2003, sa production journalière était de :
-5 000 unités pour l'atelier A
-3 000 unités pour l'atelier B
-6 000 unités pour l'atelier C
Les ateliers de production fonctionnent 300 jours par an.

Les perspectives pour les années suivantes sont :
-pour l'atelier A, augmentation de la production de 5% par an
-pour l'atelier B, augmentation de la production de 10% par an
-pour l'atelier C, augmentation de la production de 100 000 unités par an

On note An la production de l'atelier A l'année 2003+n, Bn celle de l'atelier B et Cn celle de l'atelier C.

1)Calculer A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3.
2)Exprimer An, Bn et Cn en fonction de n.
3)A partie de quelle année la production de l'atelier B dépassera celle de l'atelier A ?
4)Dans 10 ans (n=10), quelle sera la production totale de l'atelier A ? De l'atelier B ? De l'atelier C ?

Voici mes réponses :

1) A1 = 1 575 000, A2 = 1 653 750, A3 = 1 736 735,50
B1 = 990 000, B2 = 1 089 000, B3 = 1 197 900
C1 = 1 900 000, C2 = 2 000 000, C3 = 2 100 000.

2) An= 1 500 000 * 1.05^n
Bn = 900 000 * 1.1^n
Cn = 1 800 000 + 100 000n

4) A10 = 2 443 341,940
B10 = 2 334 368,21409
C10 = 2 800 000

Je n'ai pas réussi à démarrer à la question 3, pouvez-vous m'aider ?
Pouvez-vous également me dire si mes résultats sont bons (je n'ai pas mis les calculs) ?

Merci d'avance pour votre aide et encore désolé pour ce pavé.

[titine]

En 2003, sa production journalière était de :
-5 000 unités pour l'atelier A
-3 000 unités pour l'atelier B
-6 000 unités pour l'atelier C

N'as tu pas fait une erreur dans ton énoncé ?
Je ne comprends pas comme tu passes de 5000 unités en 2003 à 1 575 000 unités un an après.

[rog20]

Je peux me tromper mais je crois comprendre dans l'énoncé que 5000 unités est la production journalière de l'atelier A en 2003 (donc 1 500 000 unités pour toute l'année).

[titine]

Excuse, tu as raison.

[pascal16]

augmenter de 5%, c'est multiplier par 1.05

A1=5000*300*1.05
A2=5000*300*1.05*1.05
An= 5000*300*1.05^n
ton raisonnement est juste

[pascal16]

q3 : soit tu le fais au tableur, soit avec la fonction ln si tu l'as vu

An= 1 500 000 * 1.05^n
Bn = 900 000 * 1.1^n

Bn>An <=> 900 000 * 1.1^n >= 1 500 000 * 1.05^n
je fais tous les développements avec ln d'un coup :
<=> ln(900 000) + n ln(1.1) >= ln(1500 000) + n ln(1.05)
<=> n(ln(1.1)-ln(1.05) ) >= ln(1500 000) - ln(900 000)
<=> n>= (ln(1500 000) - ln(900 000) )/(ln(1.1)-ln(1.05))

que l'on peut simplifier en n >= ln(5/3)/ln(22/21)
soit n=11

[rog20]

Merci beaucoup de m'avoir répondu aussi rapidement.
On étudie justement la fonction ln, donc c'est très intéressant.
Puis-je également en conclure que mes autres réponses sont bonnes ?
Merci d'avance

[pascal16]

Tout me parait bon.

pour la présentation des résultats : A10 = 2 443 341,940
Mais ensuite, on rédige la réponse : donc un production annuelle au bout de 10 ans pour la chaîne A de 2 443 341 pièces.
Ou plus simplement : A10 = 2 443 341,940 soit une production attendue de 2 443 341 pièces.

On produit un nombre de pièces entières, donc la réponse se fait sans les chiffres après la virgule, arrondis comme tu veux.