Travail sur les suites arithmético-géométriques

[Rebelle_]

Bonjour bonjour à tout le monde =)

J'ai une petite question sur les suites arithmético-géométriques. Elle ne sort pas de mon cours, c'est quelque chose que j'essaye de comprendre par moi-même et j'aimerais être sûre que je m'y prends bien x)
En fait j'ai travaillé là-dessus ce week-end (sur un cas particulier issu d'un exercice), et j'ai essayé d'en tirer une méthode générale à laquelle je puisse me référer. Le but de ce message est donc de vous l'exposer pour que vous me disiez si elle est valable ou pas. ^^'

Dans tout mon raisonnement je conserve les mêmes notations.

Soit une suite (u_n) de N dans R définie telle que, pour a et b des réels non-nuls et u_0 un réel :

{ u_{n+1} = a*u_n + b
{ u_0

i) La limite de la suite (u_n), notée X telle que lim u_n = X se calcule de la manière suivante. X respecte l'équation aX + b = X, soit X = b/(1-a).

ii) On pose une suite (v_n) définie telle que : v_n = u_n - X. Elle représente la différence entre (u_n) et sa limite X. Logiquement, (v_n) converge vers 0 aussi rapidement que (u_n) converge vers X.

iii) La suite (v_n) est nécessairement géométrique. En effet :
v_{n+1} = u_{n+1} - X = a*u_n + b - X = a(v_n + X) + b - X = a*v_n + aX + b - X = a*v_n.

Soient les caractéristiques suivantes :
{ v_{n+1} = a*v_n
{ v_0 = u_0 - X

Donc : v_n = (u_0 - X)*a^n.

iv) On a, u_n = v_n + X, donc u_n = a^n(u_0 - X) + X.

Voilà voilà, je vous remercie de m'avoir lue !

Bonne fin de journée :)

[Ericovitchi]

Tout ça a l'air impeccable !

[Rebelle_]

Vraiment ?!

C'est super alors, vraiment très très cool ! Parce que je me suis rendue compte que la plupart des suites sur lesquelles on doit travailler sont des suites de ce type ! Donc je peux maintenant faire la quasi totalité de mes exercices de tête... Tout en sachant comment rédiger tout ça rigoureusement !

Merci beaucoup :D

[Arnaud-29-31]

Salut, Rebelle_ !

A mon grand regret, je ne suis pas autant satisfait qu'Ericovitchi ....
Le X que tu introduis n'est pas forcement la limite de qui dans une très grande partie des cas diverge.

Le premier paragraphe est selon moi à retirer.
Pour la suite, tu cherches effectivement une suite telle que et tu montres que mais il ne faut pas dire que c'est la limite de la suite

Le résultat final est bon, si tu arrives à le mettre dans un coin de ta tête, c'est certain que tu auras l'occasion de t'en servir ^^

[Rebelle_]

Ah, alors il faut que je précise que X est la limite potentielle de la suite, dans le cas où elle converge, c'est-à-dire dans le cas où elle a pour limite un réel ?

[Arnaud-29-31]

Je pense qu'il n'est pas la peine de parler de limite au début ... Celle-ci saute aux yeux une fois que l'on a l'expression finale.
Tu dis simplement que tu cherches géométrique en posant et tu montres qu'il faut prendre

D'après toi, dans quel cas une suite arithmético-géométrique converge ?

[Rebelle_]

Je voulais parler de limite parce que c'est comme ça que sont présentés nos exercices (les questions suivent le fil de mon raisonnement - ou c'est l'inverse, plutôt).

Je pense qu'une suite a-g converge si ce que j'ai appelé a est compris entre -1 et 1 (strictement). Si non, elle diverge.
Et puis il faut aussi que u_0 soit différent de la limite potentielle X, sinon...

Vrai ? Je déduis ça des suites géométriques en fait.

[Arnaud-29-31]

Oui c'est ça, une suite a-g non constante converge ssi -1

[Rebelle_]

Super, merci beaucoup, tout est clair pour moi !

:)

[Arnaud-29-31]

Oukii

Alors maintenant la même mais avec des suites imbriquées :





^^