Translation et vecteur

[Nekster]

Bonjour

On a: ABC un triangle
I bary centre de (A,2) (B,1)
J bary centre de (A,1) (C,2)
K bary cente de (A,3) (B,1 (C,2)
K milieu de [IJ]
E bary centre de (B,1) (C,2)
K mil [AE]
1- Determiner l'ensemble delta des pts M du plan tel que
Norme du vecteur MI+ vecteur MJ=norme du vecteur MA-Vecteur MC
2- Soit f une application tel que MM=MI+2MC-3MJ (en vecteur)
montrez que F est une translation du vecteur AI
Je bloque completement la.Merci de m'aider !!

[Pseuda]

Bonjour,

Transforme en fonction de .

[Nekster]

pour la 2 je pense avoir trouvé
Soit M=A
AI+2 AC - 3 AJ
=AI+2AC+3 JA
=AI+2 AJ +2 JC+3 JA
J bary centre de (A,1) (C,2)
d'ou
=AI+2AJ+2JA
=AI
donc f est une translation du vecteur AI

[Nekster]

pseuda j'ai deja fait ca mais je bloque pour le MA-MC.
Je n'ai rien trouvé qui relie A et C avec un coefficient de 1. Pourrais-tu me donner un indice?

[siger]

bonjour

il faut commencer a placer les points I, J, ....en fonction de A,B et C en utilisant les vecteurs et les definitions
Tout est en vecreurs
d'apres les definition des barycentres on a
2IA +IB= 0 d'ou 3IA + AB = 0 et AI = AB/3
de meme
JA + 2JC=0, ....
3KA+ KB+ 2KC= 0, ou 6KA +AB + 2AC = 0
EB+2EC=0,....

on verifie que K est milieu de IJ : AK = (AJ+AI)/2 =(1/2)2AC/3 + AB/3
ou 6KA + 2AC + AB = 0
par suite AK = (AI + AJ)/2

IL faut ensuite raisonner en vecteur
MI + MJ = 2MA + AI + AJ = 2MA + 2AK
MA-MC = CA
.........

[siger]

Re

pour la 2 je pense avoir trouvé
Soit M=A
AI+2 AC - 3 AJ
=AI+2AC+3 JA
=AI+2 AJ +2 JC+3 JA = AI + JA + 2JC
J bary centre de (A,1) (C,2) d'ou JA +2JC = 0 et AM=AI
d'ou
=AI+2AJ+2JA
=AI
donc f est une translation du vecteur AI

[Nekster]

ahh oui c'est bon j'ai compris merci beaucoups pour ton aide.
Par contre la je me suis attaqué a la suite de l'exercice et 2 questions me posent probleme
Suite de l'exercice:
Construire F l'image de C par la translation AI (fait)
construire E' la symetrique de J par rapport a E (fait)
1)Montrez que E est l'image de J par la translation AI.
b-En deduire que I,E,F sont alignés.
Pour cette question j'ai ecris:
J appartient a l'intersection de AC et de JE.
L'image de (AC) par le vecteur AI est (IF) (1)
JE et AI ont la meme direction
donc,l'image de (JE) par le vecteur AI est (JE) lui meme.(2)
d'apres 1 et 2,L'image de J appartient a l'intersection de IF et de JE.
d'ou l'image de J par le vecteur AI est E.
Ce qui me tracasse c'est que j'ai sortit le fait que JE et IF se coupe en E d'apres le dessin.On ne m'a pas donné l'information.Est-ce correct?
b- On a E=L'intersection de IF et JE.
Donc E appartient a IF
Donc E,I,et F sont alignés

[Nekster]

bon j'ai essayé de trouver une autre solution mais c'est impossible je crois il n'y a aucune autre facon de le faire.
Suite de l'exercice
Soit I' le milieu de IB.Les droite EI' et E'I se coupent en K'
Montrez que K' est l'image de K par la translation AI.
Alors celle la je me creuse les meninges depuis 30 min j'ai meme pas un debut de piste

[siger]

RE

Alignement I,E et F
JE = JC + CE = AC/3 + CB/3 = AB /3 = AI
en vecteur en a l'egalité AI=JE=CF
comme A, J et C sont alignes............

[Nekster]

ah d'accord merci.Et pour la derniere question?

[siger]

re

vais m'absenter....
k
le tranformé de K dans la translation AI semble etre....... a vue de nez ....l'intersection de CI' et BE'
??????

[Nekster]

euh je ne crois pas que CI' et BE' se coupent quelque part dans le plan..et encore loin dans k'.
C'est pas plutot une histoire de milieu,avec K mil IJ et I' E l'image de IJ par AI.Du coups il faudrait prouver que k' est le mil de I'E.Corrigez moi si je me trompe.

[siger]

re

il semble que K' soit l'intersection de EI' et de J B
dans ces conditions tu as raison : l'image de IJ par AI est E I'( E image de J et I' image de I )
dans le quadrilatere croise JEK'I'B les cotes se coupent en leur milieu ( JE//I'B)
K' est le milieu de EI' et KK' est parallele a AB et egal a II' = AB/3
.......