[Défi] transcendance de "e"

[windows7]

salut

on pose f(x)à un polynome de degres m a coeff reels.
on note

1. Montrez


on remplace les coef de f par leurs valeurs abs, on note g le nouveau polynome

2. Montrez

supposons que e est racine d'un polynome a coef entier ( il est dit "algebrique" ), on le note alors et n>0

on pose egalement
et

3. Montrez

4. Montez

en deduire que si p>n et p>|q0| alors est divisible par (p-1)! mais pas par p! avec J non nul.

5. Montrez que pour tout k dans [1,n]

6. A l'aide de la question 2) et 5) montrez

7. Montrez que la constante z est independante de p.

8. Que se passe t-il si on prend p assez grand ? ( trouvez une contradiction entre 4) et 6)

Bonne chance

[benekire2]

Je regarderais dans la journée ... :zen:

[benekire2]

Pour la 1, on intègre m fois par parties.
Pour la 2, j'ai pas fait mais je crois que la majoration "bête" et classique suffit pour montrer le résultat.

Je vais faire la 3, mais je pense que la 1 va faire l'essentiel du boulot. Je te tient au courant.

[benekire2]

Pour la 3 je suis arriver au résultat , mais j'ai pas le même indice de sommation; la première somme se fini à m chez moi, ce qui me parrait plus logique.

Je pense avoir a peu près bouclé.


Je proposerais sous forme d'exercice (ou non) la transcendance des zeta(2k). C'est pas encore gagné, parce que il me faut montrer que les radicaux conservent l'algébricité et que si x est transcendant alors kx (k algébrique) l'est aussi, et c'est pas gagné non plus . :mur:

[windows7]

salut

oui c'est "m" mais si on ecrit (n+1)p-1 c'est pareil ;)

tu as trouver la contradiction du 8) ?

[benekire2]

J'ai pas tout a fait fini , mais je pense avoir la contradiction. Cela dit, je suis assez fatigué aujourd'hui. Je verrai demain voir si j'ai pas fait n'importe quoi. ( En fait j'ai presque rien écrit )