le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j ) le carré OABC represente un terrain comportant dux immeubles on doit construire une route reliant O a B selons les critères suivant la route doit passer par l'interieur du carré et doit eviter les immeubles cette route doit representez une fonction dont on donnera l'equation la fonction doit etre continue et derivable sur [0,5[
en fait nous somme dans la carré ABCO le coté OC=OA+AB+BC=5 les immeubles sont passer de x=1à2 soit y = 0à2 et un autre immeubles de x= 3à4 et y= 3à5
en gros les deux immeubles sont symetriques par rapport au point (2.5;2.5).
je sais que la fontion doit etre de la forme x^3 mais je ne vois pas comment ne pas couper les immeubles et la faire passer par (0;0) et par (5;5)
devoir maison de serie s
Tracer une route de O a B
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par Chimerade » 08 Oct 2005, 16:51
Non inscrit a écrit:le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j ) le carré OABC represente un terrain comportant dux immeubles on doit construire une route reliant O a B selons les critères suivant la route doit passer par l'interieur du carré et doit eviter les immeubles cette route doit representez une fonction dont on donnera l'equation la fonction doit etre continue et derivable sur [0,5[
en fait nous somme dans la carré ABCO le coté OC=OA+AB+BC=5 les immeubles sont passer de x=1à2 soit y = 0à2 et un autre immeubles de x= 3à4 et y= 3à5
en gros les deux immeubles sont symetriques par rapport au point (2.5;2.5).
je sais que la fontion doit etre de la forme x^3 mais je ne vois pas comment ne pas couper les immeubles et la faire passer par (0;0) et par (5;5)
devoir maison de serie s
Pour limiter au maximum les calculs, je propose de profiter de la symétrie. Pour que la courbe soit symétrique par rapport au centre du carré, il faudrait qu'elle passe par ce centre. Donc je propose une fonction f telle que :
f(x)-x = k*x*(x-5/2)(x-5)
f(x)= x + k*x*(x-5/2)(x-5)
Par construction, (f(x)-x) s'annulle en 0, en (5/2) et en 5 et elle est symétrique par rapport au point (5/2,5/2). La valeur de k peut être quelconque eu égard à cette symétrie. Par contre on voudrait que f(1) >2 pour éviter le coin gauche du premier immeuble et que f(2)>2 pour éviter le coin droit du premier immeuble.
Donc il faut que :
[FONT=Courier New]f(1) = 1 + k*(-3/2)(-4) > 2 ce qui donne : 1+6k>2 soit k>1/6
f(2) = 2 + 2k*(-1/2)*(-3) >2 ce qui donne : 2+3k>2 soit k>0[/FONT]
Ces deux conditions sont vérifiées si k>1/6
Le deuxième immeuble ne pose pas de nouveau problème, car par symétrie, si la courbe évite le premier, elle évitera automatiquement le second. La seule précaution à prendre sera d'éviter que la courbe ne sorte du carré 5 X 5. Il faut alors calculer la dérivée de f et s'assurer que f(x)<=5 pour la valeur de x qui annulle la dérivée (si elle s'annulle). Cela te donnera un majorant pour k, et tu pourras choisir un k quelconque dans la fourchette ainsi définie. Cela je te le laisse faire...
par Chimerade » 08 Oct 2005, 17:35
Non inscrit a écrit:mais en 5 f(x) ne s'annule pas car f(5)=5
Exact ! Je voulais dire (f(x)-x) s'annulle en 0, 5/2 et 5, par construction !
C'est corrigé, merci !
par Chimerade » 09 Oct 2005, 11:52
Non inscrit a écrit:il y a un autre truc que je ne comprends pas comment d'entree peut -on donné une equation de courbe f(x)-x=kx(x-5/2)(x-5)
pour le 5/2 ok c'est le centre mais pourquoi fait -on f(x)-x et pourquoi on met le facteur (x-5) apres ??
mais merci beaucoupe pour la reponse
Ben, c'est tout naturel !
Il est clair que f(x)=x pour x=0 et x=5 : c'est imposé. Par ailleurs on a une jolie symétrie par rapport à 5/2. Ce serait dommage de la perdre ! Donc j'aimerais bien aussi que f(x)=x pour x=5/2. Il semble donc évident que la courbe en question se positionne par rapport à la droite d'équation y=x.
Donc pour prendre acte du fait que f(x)=x pour x=0,5/2 et 5, je trouve judicieux d'écrire f(x)=x+g(x) où g(x)=0 pour x=0,5/2 et 5. Or, une fonction polynôme qui s'annulle en 0, 5/2 et 5 est forcément de la forme : k*(x-0)(x-5/2)(x-5). Tout cela coule de source, naturellement. Il n'y a pas de grande astuce ! Seules les fonctions k*(x-0)(x-5/2)(x-5) parmi les polynômes de degré 3, sont les fonctions qui s'annulent en 0, 5/2 et 5 ! Finalement, on n'a strictement aucun choix, on ne peut se permettre aucune fantaisie d'un bout à l'autre du problème !
par Chimerade » 09 Oct 2005, 12:56
J'ai fait le dessin ! Ci-dessous, quatre images correspondant respectivement à k=1/6 (la limite inférieure), k=2/6, k=3/6 et k=4/6
Cela te donne une idée de l'allure générale de la courbe et de son évolution en fonction de k.
On voit que pour 4/6 la route sort du carré. A toi de déterminer, si tu le souhaites, une limite supérieure pour k, pour que la courbe ne sorte pas du carré.
Cela te donne une idée de l'allure générale de la courbe et de son évolution en fonction de k.
On voit que pour 4/6 la route sort du carré. A toi de déterminer, si tu le souhaites, une limite supérieure pour k, pour que la courbe ne sorte pas du carré.
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