Voilà un DM de spé que j'ai pas mal avancé, mais je ne suis pas sure de certaines réponses et je ne sais pas comment justifier rigoureusement ,pouvez vous m'aider?
1.a Démontrer que, s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
(On ne doit pas utiliser le théorème de Bézout car on ne l'a encore pas étudié)
J'ai utilisé le théorème des combinaisons linéaires :
Soit c un diviseur commun de a et b.
c|a et c|b
D'après le théorème des combinaisons linéaires : c|;)a +
b.Prenons
=u et =v.alors c|au + bv
donc c|1. Par conséquent, a et b sont premiers entre eux.
1.b En déduire que si (a² +ab -b²)²=1, alors a et b sont premiers entre eux.
1er cas
(a² +ab -b²)=1
(a(a+b) + b*(-b) ) = 1
En utilisant le théorème des combinaisons linéaires et en prenant
=a+b et =(-b), je montre que c|1 et donc a et b sont premiers entre eux.2nd cas
(a² +ab -b²)=-1
(a(a+b) + b*(-b) ) = -1
Donc c|-1 et a et b sont premiers sont premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs (a;b) tels que (a²+ab-b²)² = 1
a. Déterminer a lorsque a = b
Si a = b alors:
(a²+ab-b²)²=1
(a²+a²-a²)²=1
a^4 =1
Donc a = b = 1 (car a strictement positif)
b. Vérifier que (1;1), (2;3) et (5;8) sont trois solutions particulières.
Ici, j'ai remplacé pour chaque cas, et ça marche, on arrive toujours à 1² =1.
c. Montrer que si (a;b) est solution et si a différent de b alors a²-b² 1 et 1-ab<0 donc:
a²-b²<0.
2nd cas
a² +ab -b²=-1
Même chose que précedemment, -1-ab<0 donc a²-b²<0.
(La justification est elle correcte?)
[B][I]3.a Montrer que si (x;y) est une solution différente de (1;1) alors (y-x;x) et (y; y+x) sont aussi des solutions.
Ici, j'ai remplacé dans un premier temps a par y-x et b par x, j'ai trouvé:
(y²-xy-x²)² = 1
De même, j'ai rempalcé a par y et b par y+x, et j'ai trouvé la même chose. Comment expliquer que (y²-xy-x²)² = 1, c'est à dire (x²+xy-y²)² = 1 correspond à (a²+ab-b²)²=1 ?
3b. Déduire de 2.b trois nouvelles solutions.
D'après le 2.b, les solutions possibles sont : (1;1) (2;3) et (5;8).
Or, (y-x ; x) et (y; y+x) sont aussi des solutions donc
Pour (1;1) (2;3) on a x=1 et y=2 ce qui fait (1;2)
Pour (2;3) et (5;8) on a x=3 et y=5 ce qui fait (3;5)
Pour (5;8) (13;21) (la suite logique mais comment justifier?), on a x=8 et y =13 ce qui fait (8;13)
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an) avec n un entier naturel définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n, n
0, a(n+2) = a(n+1) +an.Démontrer que pour tout entier n
0, (an ; an+1) est solution.Ici, j'ai utilisé le raisonnement par récurrence:
Initialisation : Au rang 0, a0= a1 =1 donc (a0 ; a1) = (1;1) qui est une solution donc c'est vrai.
Hérédité: On suppose que pour tout entier n
0, (an ; an+1) est solution et on montre que c'est vrai aussi au rang suivant, c'est à dire (an+1 ; an+2):an+2 = an+1 + an donc:
(an+1 ; an+1 + an), ce qui correspond à (y; y+x) donc vrai. (Comment mieux le justifier?)
Conclusion: la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, elle est donc vrai pour tout n
0.En déduire que les nombes an et an+1 sont premiers entre eux.
Puis je ici dire, que y = a et b = y+x comme montré précedemment et comme a et b sont premiers entre eux, an et an+1 le sont aussi?