S(n*m)=S(n)*S(m)

[SimonY]

Bonjour,

voici mon énoncé : S(n) est égal à la somme des diviseurs positifs de n

Exemple : S(6)=12 car les diviseurs positifs de 6 sont : 1,2,3,6 et 1+2+3+6=12.

Si n=p*q (p et q sont premiers distincts) alors S(n)=(1+p)(1+q) -> ça je l'ai démontré

et je dois prouver que : Pour tous entiers naturels n et m non nuls distincts, on a : S(m*n)=S(n)*S(m)

Et là je vois pas .. :/

[nodjim]

si n=4 et m=8 ça marche toujours ?

[zygomatique]

salut

oui c'est faux pour des entiers quelconques ....

mais pour des entiers p et q premiers et distincts on a et qui se généralise à un produit quelconques de puissances de premiers distincts ....

[SimonY]

Et comment tu prouves ta proposition zygo ?

[nodjim]

Normalement la formule serait:
s(nm)=s(ppcm (n;m))

[nodjim]

Non, ce n'est pas tout à fait ça.
Formule générale:
s(a1^p1*a2^p2...an^pn) avec a1,a2,.. an premiers =
(a1^(p1+1)*a2^(p2+1)*..an^(pn+1)/((a1+1)(a2+1)..(an+1))

[SimonY]

Et la démonstration c'est quoi?

[Ben314]

A mon sens, le résultat "classique", c'est que :
Si n et m sont deux entiers premiers entre eux alors S(nm)=S(n)S(m).
Et ça se démontre en montrant que tout diviseur du produit nm s'écrit de manière unique comme le produit d'un diviseur de n avec un diviseur de m.

Tu en déduit que, si les diviseurs de n sont d1,d2,...di et ceux de m sont e1,e2,...ej alors ceux de nm sont d1e1,d1e2,...,d1ej,d2e1,d2e2,...d2ej, . . . ,die1,die2,...diej (*) et il ne reste plus qu'à vérifier que leur somme est bien le produit des deux sommes.

Exemple :
- 14 et 15 sont premiers entre eux
- Les diviseurs de 14 sont 1,2,7,14
- Les diviseurs de 15 sont 1,3,5,15
- Les diviseurs de 14x15=210 sont 1x1=3, 1x3=3, 1x5=5, 1x15=15, 2x1=2, 2x3=6, 2x5=10, 2x15=30, 7x1=7, 7x3=21, 7x5=35, 7x15=105, 14x1=14, 14x3=42, 14x5=70, 14x15=210
Et il suffit de développer pour voir que
(1+2+7+14)x(1+3+5+15)=1x1+1x3+1x5+1x15+2x1+2x3+2x5+2x15+7x1+7x3+7x5+7x15+14x1+14x3+14x5+14x15

Si n et m n'étaient pas premiers entre eux, certains diviseurs de nm pourraient s'écrire de plusieurs façon sous la forme d'un produit d'un diviseur de n et de m donc la liste (*) çi dessus contiendrait des doubles. Par exemple 12 divise 18x8=144 et on peut écrire 12=6x2 avec 6 qui divise 18 et 2 qui divise 8 ou bien 12=3x4 avec 3 qui divise 18 et 4 qui divise 8.

[SimonY]

Okay ! Merci beaucoup :D

[nodjim]

On peut écrire aussi:
s(n*m)=s(n/pgcd)*s(m*pgcd)=s(n*pgcd)*s(m/pgcd)

[zygomatique]

Et comment tu prouves ta proposition zygo ?

se démontre aisément par récurrence ....(je l'ai donné à mes spé math ...)

on peut un peut généraliser comme le fait ben314 ...

[zygomatique]

et pour généraliser l'idée de Ben314 ou plutôt un truc qui s'utilise assez classiquement c'est de considerer avec son exemple 14 et 15 les polynômes :




la somme des exposants de monômes apparaissant dans le produit PQ augmentée de 1 de s(14 * 15)

et les coefficients de tous les monômes est 1

ce qui n'est pas le cas pour par exemple 14 et 12 .... ce qui montre qu'un diviseur de 12 * 14 s'écrit de plusieurs façons ...

:lol3: