Ln x

[theodora]

Bonjour,
je ne parvient pas à résoudre la partie B de cette exercice
f definie sur ]0;+infini[ par f(x)=[2x/1+x] -ln(1+x)
soit g définit sur l'intervalle ]0;+infini[ g(t)=ln(1+t):racinne(t)
1montrer que g't=f(t):2tracinne(t)
2 montrer que gt=[2ln(racinne(t)):racinne(t)]+[ln(1+1/t):racinne(t)]
3 dresser le tableau de variation

[siger]

Bonjour

voudrais-tu reecrire tout ça de maniere plus lisible

racinne carrée (x) = "V(x)"
divisé = "/"
et utiliser les parentheses 2x/1+x = 3x et non 2x/(+1x)
....

[ampholyte]

Bonjour,

Mise à part ce que siger te conseille afin que l'on puisse mieux t'aider, qu'est-ce qui te pose problème ?

1) As-tu calculé g'(t) ?

2) Tu sais que ln(a/b) = ln(a) - ln(b) utilise cela sur ln(1 + 1/t) (en mettant au même dénominateur), cela te permettra de factoriser et donc de retomber sur le g(t) définit dans l'énoncé

[theodora]

d'accord désolée pour ma réponse tardive mais je n'ai pas de mail concernant vos réponses.
soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par g(t)=ln(1+t)/V(t)
1)Montrer que pour tout réel t>0
g't=F(t)/2tV(t)
2)Montrer que pour t >0
g(t)=2lnV(t)/V(t) + [ln(1+1/t)]/V(t)
calculer sa limite de g en + infini
3)dresser le tableau de variation de g(t)

[theodora]

donc ampholyte a=1 et b=1/t pour ln(1+1/t) ? Pour la question 1 vu que ln(1+t) est sous la forme lnu' j'ai obtenue 1/(1+t) et V'(t)=1/2V(t) j'ai appliquée ensuite u'v-uv'/v² car c'est un quotient.

[siger]

re

OK pour la derivée de g(t)

g(t) = ln(1+t)/V(t)
= ln (t*(1+1/t))/V(t) = (1/V(t) )* (ln (1+1/t) + ln (t))
= (1/V(t) *( ln(1+1/t) + ln((V(t)²))
= (1/V(t)*(ln(1+1/t) + 2ln(V(t)))

[theodora]

j'ai compris comment vous avez simplifier g(t) mais je comprend pas pourquoi on doit le simplifier?

[siger]

re

simplifier? c'est plutôt .....farfelu comme calcul!
c'est apparemment ce qu'on te demande .......

j'imagine que c'est pour calculer la limite en utilisant les propriietes de
ln(x)/x et ln(1+1/x^2)/x quand x tendvers l'infini

[theodora]

pour trouver g'(t) il faut que je calcul la limite c'est ça ?

[ampholyte]

Tu n'as pas besoin de trouver g'(t) pour calculer la limite.

Tu as trouvé la décomposition :



Que peux-tu dire de :



Que peux-tu dire de :


Que vaut la somme ?

[theodora]

Pour la première limite on obtient + infini
Pour la deuxième on obtient +infini
en additionnant les deux on obtient + infini

[ampholyte]

Pour la première limite , comment obtiens-tu +oo ?

[theodora]

on sait que limite 1 c'est 1 car c'est une constante. t donne + infini par inverse on obtient 0.Par somme limite de 1+1/t donne 1.Ensuite j'ai posée X=1+1/t ,pour la limite de X tend vers + infini on obtient aussi 1.Pour V(t) sa limite est +infini donc par quotient limite de ln(1+1/t)/V(t) on obtient + infini

[ampholyte]

Bon on reprend :

Déjà :

ln(1) = 0

Ensuite je suis d'accord :


Donc :


Tu sais aussi que :


Donc :

[theodora]

Ok donc il fallait décomposée la limite enfaite

[ampholyte]

Oui tout à fait.

Même principe pour l'autre partie :

Par croissance comparée on sait que :



Donc :

[theodora]

pour la deuxième limite il faut que je calcule la limite V(t) en suite je pose X=V(t)
je calcule la limite de lnX puis par produit 2ln(V(t)) et la limite 1/V(t)

[Pseuda]

pour la deuxième limite il faut que je calcule la limite V(t) en suite je pose X=V(t)
je calcule la limite de lnX puis par produit 2ln(V(t)) et la limite 1/V(t)

Bonjour,

Tu ne vas pas y arriver comme cela. On doit utiliser le théorème de la limite d'une fonction composée, avec les fonctions : V(t), puis ln(t)/t, puis 2t, quand t-> + infini :

quand t-> + infini, X = V(t) -> ?
quand X -> ?, Y = ln(X)/X -> ? (tu as dû le voir en cours)
puis pareil en composant la fonction précédente avec la fonction 2Y.

[theodora]

ah d'accord du coup on obtient 0