[diviseur] TS

[Anonyme]

Bonjour a tous,

Pouvez vou m aider a demontrer ca :

Demontrer que si 3 nombres relatifs x,y,z sont tels que la somme x^3 + y^3 +
z^3 est divisible par trois alors la somme x+y+z est aussi divisible par 3.

Merci d avance

[Anonyme]

clement a écrit :

> Demontrer que si 3 nombres relatifs x,y,z sont tels que la somme x^3 + y^3 +
> z^3 est divisible par trois alors la somme x+y+z est aussi divisible par 3.

J'ai trouvé une astuce pour le faire rapidement : développer (x+y+z)^3.

Sinon, tu peux toujours voir les différents cas :
- x et y et z divisibles par trois
- x divisible par 3, y = 3p+1, z = 3q-1
- etc.

L'avantage de la première méthode, c'est qu'elle montre l'équivalence.

[Anonyme]

clement a dit :

> Bonjour a tous,
>
> Pouvez vou m aider a demontrer ca :
>
> Demontrer que si 3 nombres relatifs x,y,z sont tels que la somme x^3 +
> y^3 + z^3 est divisible par trois alors la somme x+y+z est aussi
> divisible par 3.
>
> Merci d avance

Multinôme, mon cher, multinôme :

(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(xy^2 + xz^2 + yz^2 + x^2y + x^2z +
y^2z) + 6xyz

Le tout modulo 3 :

(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 (mod 3)

D'où le résultat recherché (en fait, un peu plus, même que le résultat
recherché).

Au fait, tout le monde connait son multinôme par coeur ([\sum_i x_i]^n)?

--
Alexandre Charitopoulos
mailto:a.charito@wanadoo.fr

Em6 / Eb7(5b) / Dm7 / Db7(5b, 9b) / Cmaj7

[Anonyme]

"clement" a écrit dans le message news:
bjibqf$em1$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour a tous,
>
> Pouvez vou m aider a demontrer ca :
>
> Demontrer que si 3 nombres relatifs x,y,z sont tels que la somme x^3 + y^3
+
> z^3 est divisible par trois alors la somme x+y+z est aussi divisible par
3.
>
> Merci d avance
>
>
a^3-a=(a-1)a(a+1) est un multiple de 3 donc a^3=a (mod 3)
donc x^3+y^3+z^3=x+y+z (mod 3).

[Anonyme]

Charito wrote:

>
> Au fait, tout le monde connait son multinôme par coeur ([\sum_i x_i]^n)?

Non, je ne me rappelle pas avoir vu ça (ni même entendu le terme).

Cela veut dire que tu peux écrire sans calculs compliqués la formule
développée pour (a+b+c+d)^5 ?

J'ai le début :
a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + 5.(a.b^4 + a.c^4 + ... + d.c^4) + ... ?

[Anonyme]

Olivier Miakinen , dans le message (fr.education.entraide.maths:47476),
a écrit :
> Cela veut dire que tu peux écrire sans calculs compliqués la formule
> développée pour (a+b+c+d)^5 ?

Si on veut... Il dit que le coefficient de x_1^a_1...x_k^a_k est non
nul ssi la somme a_1+...+a_k=n et dans ce cas, il vaut :
n! / (a_1! ... a_k!)

t! désigne comme à l'habitude la factorielle de l'entier t.

[Anonyme]

"Pascal" a écrit
[color=green]
> > Demontrer que si 3 nombres relatifs x,y,z sont tels que la somme x^3[/color]
+ y^3
> +[color=green]
> > z^3 est divisible par trois alors la somme x+y+z est aussi divisible[/color]
par
> 3.[color=green]
> >[/color]

> a^3-a=(a-1)a(a+1) est un multiple de 3 donc a^3=a (mod 3)
> donc x^3+y^3+z^3=x+y+z (mod 3).
>

Le petit théorème de Fermat donne plus généralement :
a^p = a (mod p) pour p premier.
Donc r^p + s^p + t^p + ... + z^p = r + s + t + ... + z (mod p)
Et même, Q étant un polynôme quelconque à coefficients entiers,
Q(r^p, s^p, t^p , ... , z^p) = Q( r, s, t, ... z) (mod p)


Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

> a^3-a=(a-1)a(a+1) est un multiple de 3 donc a^3=a (mod 3)
> donc x^3+y^3+z^3=x+y+z (mod 3).

Joliiiiiiiiiiiiii !

--

Mot

PS : you have to remove "_ANTISPAM_" and ".invalid" in my e-mail address

[Anonyme]

Olivier Miakinen a dit :

> Charito wrote:
>[color=green]
>>
>> Au fait, tout le monde connait son multinôme par coeur ([\sum_i
>> x_i]^n)?
>
> Non, je ne me rappelle pas avoir vu ça (ni même entendu le terme).
>
> Cela veut dire que tu peux écrire sans calculs compliqués la formule
> développée pour (a+b+c+d)^5 ?[/color]

ahem ... non, ça veut dire qu'une formule existe !

La somme des x_i à la puissance n est un polynôme de degré n en les x_i
tel que le coefficient du terme "produit des x_i à la puissance a_i"
vale n! / (produit des a_i!).

--
Alexandre Charitopoulos
mailto:a.charito@wanadoo.fr

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