[TermS] [Suites] [Etude d'une suite]

[Turquoize]

Bonjour ! :we:

On considère les suites (an) et (bn) de nombres réels définis par :
a0=1 , b0=4 et pour tout n de N, an+1 = (3an + 2bn)/5 et bn+1 = (an + 2bn)/3

1)a. Démontrer que la suite (Un) définie par Un = bn - an est géométrique.
b. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
c. En déduire que : pour tout n de N bn > an
d. En déduire que (an) est strictement croissante et (bn) strictement décroissante, puis que n a0 an < bn b0
e. Démontrer que (an) et (bn) sont convergentes.
f. Calculer lim(n+)Un, en déduire lim(n+)an = lim(n+)bn

2) Soit la suite (Un) définie par pour tout n de N, Vn = 5an + 6bn
a) Démontrer que Vn est constante.
b. En déduire lim(n+)an et lim(n+)bn

J'ai vraiment de grosses lacunes dans les suites, je mélange tout et.. bref c'est un peu du gros charabia pour moi (voir même beaucoup, car je n'ai absolument rien réussi à faire dans cette exercice). Je n'aime pas les suites (et elles ne m'aiment pas xD) et j'y comprends rien ça m'énerve ...
Donc si quelqu'un pouvait m'aider, et m'expliquer comment on pourrait ne serait-ce que commencer (car je sais comment démontrer qu'une suite est géométrique, mais là le fait qu'il y ait deux suites bah.. ça me perturbe u_u)
Merci beaucoup aux personnes qui m'aideront !

[Rebelle_]

B'jour =)

On commence par la question 1 ? :)

On pose u_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1} et on remplace à droite par les expressions connues puis on réduit, on factorise et on tombe sur u_{n+1} = k*u_n avec (u_n) une suite géométrique de raison k.

Tu peux essayer ?

[Rebelle_]

Allez, je t'aide pour commencer :)

u_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1}

<=> u_{n+1} = (1/3)a_n + (2/3)b_n - (3/5)a_n - (2/5)b_n

<=> u_{n+1} = (...)a_n + (...)b_n

<=> u_{n+1} = (...)(b_n - a_n)

<=> ...

Au travail =)

[Turquoize]

Merci de m'aider

u_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1}

u_{n+1} = (1/3)a_n + (2/3)b_n - (3/5)a_n - (2/5)b_n

u_{n+1} = (-4/15)a_n + (4/15)b_n

u_{n+1} = (4/15)(b_n - a_n)

u_{n+1} = (4/15)(u_n)

donc la raison k, c'est k= 4/15

[Rebelle_]

Je suis d'accord :)

Et donc, quel est le terme général de (u_n) ?

[Turquoize]

(u_n) = (4/15)^n * U_0 ?

[Rebelle_]

Re =)

C'est ça, et tu peux même trouver u_0 ;)

[Turquoize]

Ouais du coup u_0 = (4/15)^0
u_0 = 1

c) En déduire que pour tout n de N, on a b_n > a_n
Je vois pas comment on fait. Un copain m'a parlé de faire la récurrence :

{ u_0 = 1
{ (u_n) = (4/15)^n * u_0

mais je vois pas comment on fait. Pour moi la récurrence, c'est prouver l'hérédité de la propriété définie sur N.

[Rebelle_]

Lol non, pas forcément :)

Pour tout n de N tu as u_n > 0, soit b_n - a_n > 0 soit...

;)

[Turquoize]

Ah ouais carrément xD
u_n > 0
b_n - a_n > 0
b_n > a_n


d) En déduire que (a_n) est strictement croissante, et (b_n) strictement décroissante.
Puis que pour tout n de N, a_0 <(ou égal) a_n < b_n <(ou égal) b_0

Euh là je dois voir si les suites (a_n) et (b_n) sont géométriques ou arithmétiques ? et ensuite voir leur sens de variation ? Ou y'a une manière plus simple.. x)

[Rebelle_]

Re =)

Là je verrais bien le théorème des suites adjacentes.
La limite de la différence entre les suites (b_n) et (a_n) est la suite (u_n). Or, la suite (u_n) tend vers 0 (car la valeur absolue de sa raison est strictement inférieure à 1). De plus, on a montré que a_n < b_n, donc on en déduit - grâce au théorème sus-cité - que la suite (a_n) est croissante et que la suite (b_n) est décroissante pour tout n de N.

Les relations à démontrer ensuite découlent naturellement du même théorème :)

[Turquoize]

Hm j'ai jamais vu le théorème des suites adjacentes ^^

J'ai compris tout ce que t'as dis jusqu'à "donc on en déduit - grâce au théorème sus-cité -" . Vu que je connais pas le théorème.. j'ai regardé dans mes cours de l'année dernière et je ne l'ai pas trouvé. Tu pourrais me l'expliquer ?

[Rebelle_]

Oui tout à fait ! Par contre si tu ne l'as pas vu ce n'est peut-être pas judicieux de l'utiliser. En France il est au programme de la classe de Terminale.
En voici l'énoncé.

Soient deux suites (u_n) et (v_n) de N dans R. On dit que ces suites sont adjacentes si et seulement si on a :

i) (u_n) croissante ;
ii) (v_n) décroissante ;
iii) v_n - u_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Si deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite l, et on a : u_n < u_{n+1} < l < v_{n+1} < v_n.

NB : les inégalités sont non strictes.