Tle S - Casse-tête

[Anonyme]

A l'aide !!!

Rédiger correctement la preuve complète du résultat suivant :
Les entiers de la forme a²-b², a et b désignant des entiers, est l'ensemble
des multiples de 4 et des nombres impairs réunis.

Merci

[Anonyme]

a²-b² = (a+b)(a-b)
vois ce qui se passe en fonction de la parité de a et de b
Qu'en déduis-tu de la parité de a+b et de a-b ?
N'oublie pas qu'un nombre pair n peut s'écrire sous la forme n = 2p avec p
entier
et qu'un nombre impair m peut s'écrire m = 2q + 1 avec q entier

Avec ces indications tu devrais pouvoir établir que a²-b² est soit impair
soit multiple de 4

Ensuite il faut montrer que tout multiple de 4 peut s'écrire a²-b²
et que tout nombre impair peut s'écrire a²-b².

Un multiple de 4 peut s'écrire 4p ou encore 2p * 2
Essaie de voir si tu ne peux pas identifier les termes de ce produit avec
(a+b)(a-b)
pour avoir une expression de a et b en fonction de p.

Pour les nombres impairs c'est peut-être le plus dur
Un nombre impair s'écrit 2p+1, il faut trouver des valeurs possibles pour a
et b, dépendant uniquement de p
Prends a = p+1 et vois si tu peux en déduire b ...

Courage.

"AD" a écrit dans le message news:
413f14b1$0$8749$626a14ce@news.free.fr...
> A l'aide !!!
>
> Rédiger correctement la preuve complète du résultat suivant :
> Les entiers de la forme a²-b², a et b désignant des entiers, est
l'ensemble
> des multiples de 4 et des nombres impairs réunis.
>
> Merci
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[Anonyme]

Soit n = a² - b² avec (a,b) \in Z².
Avec les identités "remarquables", on peut écrire n sous la forme :
n = (a-b)*(a+b).

Maintenant on distingue deux cas :

1er cas : a et b sont de même parité (tous les deux pairs, ou tous les deux
impairs).
dans ce cas, les deux entiers a+b et a-b sont pairs
càd a+b=2p et a-b=2q avec (p,q) \in Z²
donc n=4*(pq), c'est un multiple de 4

2e cas : a et b ne sont pas de même parité.
Supposons par exemple que a est pair et b impair.
a = 0 [2] et b = 1 [2]
(les = sont des congruences)
a+b = 1 [2] et a-b = 1 [2]
donc (a+b)*(a-b) = 1 [2]
c'est-à-dire : n est impair.

Si tu t'arrêtes ici, aïe aïe aïe, tu fais l'erreur que tous plein d'élèves
font, tu n'as fais que la moitié de l'exercice.
Pour l'instant on a prouvé que :
{ a²-b² / (a,b) \in Z² } C [ (4.Z) U {2p+1, p \in Z}] (1)
Il faut prouver l'inclusion réciproque.

Si n est multiple de 4,
alors n=4*p avec p \in Z
n = (2p)*2
n = (p+1+p-1)*(p+1-p+1) (mais non mais non ce n'est pas artificiel... hum
;p)
n = [(p+1)+(p-1)]*[(p+1)-(p-1)]
n = (p+1)² - (p-1)²
dont n est de la forme a²-b² avec a,b \in Z.

Si n est impair, n = 2p+1 avec p dans Z
alors, (là c'est un peu moins artificiel)
(p+1)² = p² + 2p + 1
donc (p+1)² - p² = 2p+1

On a ainsi prouvé l'inclusion réciproque
[ (4.Z) U {2p+1, p \in Z}] C { a²-b² / (a,b) \in Z² } (2)

Avec les deux inclusions (1) et (2), on a l'égalité souhaitée.

"AD" a écrit dans le message de news:
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> Les entiers de la forme a²-b², a et b désignant des entiers, est
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> des multiples de 4 et des nombres impairs réunis.
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[Anonyme]

Merci à tous, c'est sympa

"AD" a écrit dans le message de news:
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