Titre non conforme - Attention

par **bend** » 23 Nov 2009, 17:53

Bonjour,
j'i essaié de monter cette inegalité mais je ne suis pas arrivé à trouver le fil conducteur

est ce que quelqu'un peut me donner des indications de soluation SVP :

l'inegalité est :

Soient x , y , z des reels strictement positif :

montrer que :

(xy + yz + xz) * [ 1/(x+y)² + 1 /(y+z)² + 1/(x+z)²] >= 9/4

Merci d'avance

par **Timothé Lefebvre** » 23 Nov 2009, 17:58

Bonsoir,

je l'ai déjà postée sur le forum.
Ecris la somme des permutations circulaires de x, y et z puis applique l'inégalité de Schur et celle du réordonnement.

Ou alors tu es malin et tu trouves une relation d'ordre aux x, y et z puis tu poses un changement de variables.

par **Timothé Lefebvre** » 23 Nov 2009, 18:04

Au fait, elle est dans l'un de mes cahiers de brouillons *spéciaux* ...
Ce qui signifie que c'est n'est pas tout à fait au programme de Lycée :) C'est ton prof qui te l'a donné ?

par **bend** » 23 Nov 2009, 18:13

Merci beaucoup pour ton aide ,

c'est pas le prof qui me l'a donné, si juste moi qui me prepare aux olympiades !!

par **Timothé Lefebvre** » 23 Nov 2009, 18:14

Je vois :)
Tu trouves donc ?

Quelles Olympiades prépares-tu ? OFM ? Il n'y a pas de ça aux OFM ;)

par **Olympus** » 23 Nov 2009, 18:17

Je suppose que c'est une "mini" olympiade, enfin, je crois avoir déjà vu un exo similaire dans un DS l'année dernière ( un exercice bonus ) . Donc vi, c'est hors programme ^^

Je m'y mets !

par **Timothé Lefebvre** » 23 Nov 2009, 18:20

C'est une Olympiade Nationale (j'en suis sûr, je note toujours la provenance de mes énoncés dans mes cahiers) mais par contre, pour te dire de quel pays ...

Bon courage à vous deux :)

par **bend** » 24 Nov 2009, 10:33

j'ai trouvé une autre solution :

Une deuxieme Solution :

Soit S le membre de geuche de l'inégalité :

montre que :

S= 3/2 + (z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) - 1/2 [(x²+y²/(y+z)² + (y²+z²/(y+z)²) + (x²+z²)/(x+z)² )

puis on pour tout x, y >0 , x²+y² / (x+y)² <= 1/2

donc
- 1/2 [(x²+y²/(y+z)² + (y²+z²/(y+z)²) + (x²+z²)/(x+z)² ) >=-3/4

puis on a l'inegalité pour tout x y et z >0

(z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) >= 3/2

Donc

S >= 3/2+3/2 -3/4=9/4

Au final : on S >= 9/4 (d'ou l'inegalité)

par **bend** » 24 Nov 2009, 10:37

j'ai tapé une erreur !!

je voulais ecrire :

S= 3/2 + (z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) - 1/4[(x²+y²/(y+z)² + (y²+z²/(y+z)²) + (x²+z²)/(x+z)² )

puis on pour tout x, y >0 , x²+y² / (x+y)² =-3/4

par **bend** » 24 Nov 2009, 12:25

Résume de ma solution au problème :

j'ai trouvé une autre solution :

Une deuxieme Solution :

Soit S le membre de geuche de l'inégalité :

montre que :

S= 3/2 + (z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) - [xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)²]

1 on a l'inegalité pour tout x y et z >0

(z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) >= 3/2 (inegalité Nsbit)

2 -Montrons que

xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)² = 2)

donc xy / (x+y)² = 3/2 +3/2 -3/4 =9/4
D'ou le resultat

par **bend** » 24 Nov 2009, 12:44

j'ai trouvé une autre solution :

Une deuxieme Solution :

Soit S le membre de geuche de l'inégalité :

montre que :

S= (z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) +[xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)²]

1 on a l'inegalité pour tout x y et z >0

(z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) >= 3/2 (inegalité Nsbit)

2 -Montrons que

xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)² = 2)

donc xy / (x+y)² = minf(x) +max (g(x))[/B]

on aplique cette remarque on trouve :

Finalement S>= 3/2 +3/2 -3/4 =9/4
D'ou le resultat

par **Timothé Lefebvre** » 24 Nov 2009, 13:13

Je privilégie encore le changement de variables.
Tout d'abord, on peut poser

.

Posons ensuite u=(x+y)/2z et v=xy/z².

La suite est une manipulation de la nouvelle expression induite par le changement de variables.

Il faudra étudier les dérivées 1ere et 2nde pour conclure.

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