Tirages avec remise. Ts

[goudou]

Bonjour.
J'ai un DM, et parmis ce DM, une question de probabilité m'enquiquine.

Une urne contient une boule rouge, 2 boules blanches et 3 boules noires.
On extrait successivement 3 boules de cette urne, en remettant après chaque tirage la boule extraite dans l'urne. On suppose tous les tirages équiprobables. Soit Y la variable aléatoire "nombre de tirages où apparaît une boule blanche". Déterminer la loi de probabilité de Y.

Je ne sais pas de quoi partir, et je suis totalement bloquée ...
Si quelq'un peut me donner un coup de pouce !

Merci !

[J-R]

bonsoir

{}

(on choisit 3 boules parmi les boules non blanches).

a toi ...

[goudou]

J'ai effectué ce raisonnement pour une question préalable où le tirage était sans remise. Or ici on remet la boule tirée dans l'urne. La probabilité de tirer à nouveau une boule blanche est donc la même à chaque tirage.
Et si tu as raison, quel est le raisonnement pour un tirage sans remise alors ?

Vraiment désolée, je suis totalement larguée sur cette question !

[Ruch]

Y désigne d'abord le nombre de tirage. D'après l'énoncé, il y a 3 tirages (puisqu'on extrait une boule à chaque fois en la remettant dans l'urne, opération qui se répète 3 fois car on tire en tout 3 boules).

Y = {1,2,3)

Réalises un simple arbre de probabilité donnant 3 branches au début, R1 , B1 et N1. Puis à partir de R1, tu mets 3 autres branches avec R2, B2, N2 etc.

p(Y=1) = p(B1) = 2/6 = 1/3 . (Si Y=1, on a tiré une fois, on a une probabilité de 1/3 d'obtenir une boule blanche).

= 2/6 * 1/6 + 1/6 * 2/6 + 3/6 * 2/6 + 2/6 * 3/6 . (Si Y=2, on a tiré 2 fois, on regarde donc les différentes possibilités pour obtenir une seule boule blanche sur 2 tirages par lecture de l'arbre).

Je te laisse faire p(Y=3). Si erreur il y a dans mon raisonnement ou si tu ne comprends pas quelque chose, préviens moi.

[goudou]

Ruch, tu dis que Y désigne le nombre de tirages. Par mon énoncé j'ai " Soit Y la variable aléatoire "nombre de tirages où apparaît une boule blanche" "
Donc j'ai compris que card (Y) = 0,1,2,3 puisque la boule blanche peut apparaître 0 fois, une, deux, ou les trois fois.

De plus, j'ai tenté de construire l'arbre, mais j'ai vite déchanté : à la fin le nombre de branches est déconcertant !
Et puis la probabilité de Y=1 n'est pas 1/3, puisqu'il y'a une multitude de possibilités, par exemple le tirage est : rouge rouge blanc, rouge noir blanc, blanc noir noir ...

Ce DM de me rend marteau !

[Ruch]

Alors là, soit ton énoncé est flou, soit tu l'as mal copié. Parce que j'ai compris : Y désigne le nombre de tirages où apparait UNE boule blanche, soit une unique boule blanche ; et non Y désigne le nombre de tirages où apparait au moins une boule blanche.

Si vraiment ton énoncé est tel quel, moi je considère Y= nombre de tirages , et pas le nombre d'apparition de la boule blanche.

Tu considères comme si l'énoncé disait " Y désigne le nombre de fois qu'apparait la boule blanche sur 3 tirages".

[Aurelien_]

l'arbre me parait la meilleure solution, 3 tirages avec 3 choix de couleurs, ça ne fait "que" 27 branches au final, courage !
et tu peux réduire en simplifiant et en disant qu'à chaque fois tu as 2 choix de couleur: blanche ou pas blanche => 2*2*2=8 branches, c'est jouable non ?

Y = le nombre de fois où on a tiré une boule blanche, mais dans tous les cas, on effectue 3 tirages successifs.
Et en effet, Y peut valoir 0,1,2 ou 3. Mais attention on ne dit pas Card(Y)={0,1,2,3}, cela ne veut rien dire. Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'léments de cet ensemble. Donc ici si on note A l'ensemble des valeurs que peut prendre Y, A={0,1,2,3}
on dit Y € A et Card(A)=4

Pour Y=0 = on ne tire aucune boule blanche
- 1er tirage: on ne tire pas une boule blanche donc 4 choix (boules non blanches) sur 6 : p=4/6=2/3
- 2e tirage: idem
- 3 tirage: idem
donc finalement p(Y=0)=2/3*2/3*2/3=8/27

Fais la même chose pour Y=1, Y=2 et Y=3.
Si tu as tout juste, tu dois retrouver au final p(Y=0)+p(Y=1)+p(Y=2)+p(Y=3)=1

[Aurelien_]

Ruch,

je pense en effet qu'il faut le voir ainsi: Y désigne le nombre de tirages (sur les 3) pour lequel c'est une boule blanche qui est tirée.
si on voulait parler des 3 tirages à la fois, on dirait plutôt le nombre de combinaisons où apparait une boule blanche, non ?

c'est en tout cas ainsi que je le comprends...

[goudou]

Aurélien,

Oui je crois que je vais adopter la solution de l'arbre avec B et Bbarre, les solutions seront pluS simples. Pour ce qui est de l'énoncé, je l'ai compris de cette manière : " Y désigne le nombre de fois où la boule blanche apparaît sur les trois tirages".
Pour card(Y), oups, grossière erreur de ma part, j'aurais du mettre "omega" ( je ne trouve pas le symbole sur mon pc ...).
Enfin, j'ai bien compris ton raisonnement pour Y=0, mais comment procèdes tu pour Y=1 et Y=2 ? Puisque comme je l'ai dit tout à l'heure, il y'a plusieurs manières de les obtenir, dans différents ordres ... Non ?

[Huppasacee]

Bonjour goudou

As tu étudié les expériences de Bernoulli ?
Car ici , céest une expérience de Bernoulli qui se répète 3 fois
avec à chaque fois proba tirage boule blanche = 2/6 , soit 1/3

et là , il faut utiliser la loi binomiale

L'arbre n'est pas si compliqué

Par contre , à chaque ramification , tu mets 2 branches : blanche 1/3 ; pas blanche 2/3

Tu as dû faire des ramifications à 3 branches , c'est pour celka que ton arbre est énorme

[goudou]

Huppasacee,

Tu as visé dans le mille, je viens de voir la loi de Bernouilli et la loi Binômiale. Elle ne m'a pas marqué car je n'ai fait que peu d'exemples dessus (et qu'en pluS que les probas ne sont pas mes amies ! :triste: ) ...

Je vais donc retourner au boulot, et enfin finir ce DM =)

Merci à tous !

[Aurelien_]

"Puisque comme je l'ai dit tout à l'heure, il y'a plusieurs manières de les obtenir, dans différents ordres ..."
oui, pour Y=1, il y a 3 façons de l'obtenir (selon qu'on tire la boule blanche au 1er, au 2e ou au 3e tirage). ces 3 façons sont équiprobables, il suffira donc de faire le même raisonnement que pour Y=0, mais en supposant que le 1ere boule par exemple est blanche, et de multiplier par 3.

pour Y=2, il y a 3 façons de l'obtenir également, selon que l'on tire la boule non blanche au 1er, 2e ou 3e tirage).