Théorème de Wilson à prouver

[arafrogala]

Bonjour

J'aurai besoin d'un petit coup de main pour mon exo de maths SVP

L'objectif est de prouver le théorème de Wilson
Un nombre p est premier ssi (p-1)!congru a-1[p]

1) soit p un nombre premier (p>ou=5) et A={2;3;4;...;p-3;p-2}. Montrer que pour tout x€A, x²-1 n'est pas divisible par p (faire un raisonnement par l'absurde et utiliser Gauss)

2) justifier que x et p sont premiers entre eux. En déduire qu'il existe un entier u tel que xu congru à 1[p]

3) en déduire l'existence d'unb entier r de A, unique, distinct de x, tel que xr congru à 1[p]

4) etablir alors que 2*3*4*...*(p-3)*(p-2) congru à 1[p] et enfin que (p-1)! congru à -1[p]

5) réciproquement, montrer que si (p-1)! congru à -1[p], alors p est premier

SVP je suis incapable de faire quelque chose
AIDEZ MOI SVP

[yos]

Bonjour.

1) Factorise x²-1. Que se passe-t-il quand un nombre premier divise un produit?

2) Avec un nombre premier p, c'est tout ou rien : p|[x ou p est premier à x.
Quand deux entiers sont premiers entre eux, on a Bezout.

3)Remplace u par r=u+multiple de p : la congruence du 2) reste vraie et il suffit de choisir le bon multiple pour que r "tombe" dans A. Après il faut prouver l'unicité : suppose qu'il y a r et r' et tire-z-en les conséquences.
Enfin il faut prouver que x est différent de r : raisonne par l'absurde et utilise la question 1.

4)Les p-3 éléments de A se mettent deux par deux d'après la question 3.

5) C'est le sens facile de Wilson. pest étranger à (p-1)! donc à 1, 2, 3, ... ,p-1, donc ...

[yos]

J'ai mis un crochet en trop.

[arafrogala]

dsl je comprend ce que tu dis mais ça ne m'aide pas vraiment je suis vraiment bloqué

[yos]

Je rédige la question1 mais je n'irai pas au delà.

Supposons que p|x²-1.
Alors p|(x-1)(x+1).
Mais p est premier.
Donc p|x-1 ou p|x+1.
Or 1 On a donc une contradiction.
En conséquence p ne divise pas x²-1.

N'est-ce pas ce que j'avais résumé???

Utilise ta tête et ton cours pour le reste.
Bon courage.