Théorème du point fixe

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

En 1ère S, on nous a montré la Méthode du point fixe qui permet, dans le cadre de suites définies par récurrence linéaire d'ordre 1 en tout cas, de déterminer une suite auxiliaire qui va nous permettre d'expliciter la suite recherchée.
Je ne me suis pas permis d'admettre cette méthode magique et ai essayé de me demander d'où vient cette idée merveilleuse ... en vain, c'est pour ce que je m'adresse à vous :we: :

1)D'où vient l'idée de l'application de la Méthode du point fixe aux suites ?
Autrement dit : Quel principe a permis de savoir que définir une suite auxiliaire en fonction de la suite recherchée d'une manière bien précise va permettre de déterminer la suite recherchée (Exemple le plus simple : Dans, , la suite recherchée est et pour la trouver, on nous a parachuté le fait qu'il faille trouver un réel tel que la suite soit géométrique, ce qui nous résoudrait le problème ... D'où vient cette idée magnifique ?!)
2)Pourquoi ne peut-on pas élargir cette méthode à d'autres relations de récurrences (linéaire d'ordre , non-linéaire etc...)

Merci

[Archytas]

Salut upium666, c'est quelque chose qu'on voit en sup cette idée de point fixe. Si t'aimes le hors programme tu peux y jeter un oeil il me semble pas que ça soit trop inaccessible. L'idée c'est qu'on a au départ une suite du type (ici). On remarque par une récurrence simple que si tous les termes de la suite seront égaux à ce x = u0. Ici le recherché est ce x et si a est différent de 1 (si a=1 c'est une suite arithmétique et ça on sait faire). ça permet notament de déterminer les valeurs de convergence. Parce que si u_n converge vers l alors u_n+1 aussi donc l vérifie f(l)=l etc... (la réciproque est fausse on peut avoir f(l)=l sans que u_n converge vers l). Bref c'est assez vaste. Je sais pas si j'ai répondu à ta question mais si ça t'interesse renseigne toi : p354