Théorème de Desargues

[vincente]

bonjour a tous,

c'est vraiment devenue un casse tête pour moi cet exercice :livre:
si vous voyez le nombre de feuille de brouillon que j'ai engloutie :hum:
voila le sujet , sinon on va pas allé loin: :briques:

Trois droites (d1) (d2) et (d3) sont concourantes en un point O. A et A' sont deux points de (d1), B et B' deux points de (d2) et C et C', deux points de (d3).
On suppose que, les droites (AB) et (A'B') sont sécantes en I, les droites (AC) et (A'C') sont sécantes en J et les droites (BC) et (B'C') sont sécantes en K.
On cherche à démontrer que les points I,J,K sont alignés.(Théorème de Desargues)

1.Justifier l'existence de trois réels a,b et c tels que (v devant les lettres = vecteur)
vOA'= a vAA', vOB' = b vBB' et vOC'= c vCC'

2. Prouver que : a vOA+(1-a) vOA' = b vOB+(1-b) vOB' = c vOC+(1-c) vOC' = v0 (1)

3. On souhaite démontrer que les réels a,b et c sont deux à deux distincts.
a) On suppose par exemple que a=b. Démontrer que : a vBA+(1-a) vB'A' = v0
b) En déduire que, pour toute valeur de a, vBA et vB'A' sont colinéaires.
c) Conclure

4. On considère le point M défini par : vOM = (a/a-b)vOA - (b/a-b)vOB
a) Démontrer que vAM = (b/a-b)vBA Que peut on dire des points A,B et M
b) En utilisant (1), démontrer que (a-b) vOM = (a-1) vOA' - (b-1) v OB'
c) Démontrer que M est un point de la droite (A'B')
d) En déduire que (a-b) vOI = a vOA - b vOB

5. Donner sans démonstration, les égalités analogues vérifiées par les points J et K

6. Alignement de I, J et K
a) Calculer (a-b) vOI+ (c-a) vOJ + (b-c) vOK
b) Conclure.


j'ai deja fait certaine question mais d'autre reste impossible a faire :mur:
quelqu'un a une idée pour la 3)b et la 4)a :hein:

Merci pour vos reponses :++:

[Skare]

avBA+(1-a)vB'A'=v0
avBA=-(1-a)vB'A'
vBA=-(1-a)/a vB'A'
vBA=k vB'A' avec k=-(1-a)/a
donc vBA est vB'A' sont colinéaire.

Donc a =/= b =/= c

vOM = (a/a-b)vOA - (b/a-b)vOB
v0A+vAM= (a/a-b)vOA - (b/a-b)vOB
vAM = (a/a-b)vOA + (b/a-b)vB0 -v0A
vAM = (a/(a-b)-1)v0A + (b/a-b)vB0
vAM = ((a-a+b)/(a-b))v0A + (b/a-b)vB0
vAM = (b/a-b)v0A+ (b/a-b)vB0
vAM = (b/a-b) (v0A+vB0)
vAM = (b/a-b)vBA

[vincente]

c'est vrai que c'est simple comme ça, je partais dans des calcules pas possibles :marteau:
merci :lol3:

il ne me reste plus qu'a comprendre pourquoi j'avais pas trouvé :hein3:

[vincente]

et autre chose,
pour la 4d , je ne vois pas comment obtenir de OA et OB avec OI, meme si je crois que OI = 1/2 AA'
mais ca doit pas aider ça :wrong: