Théorème des milieux

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Théorème des milieux

par nythostyle » 18 Juin 2024, 02:02

Bonjour,

Je suis des cours en autodidacte avec les bouquins de Paul Milan (lyceedadultes.fr) que je trouve génial, je tombe par contre (rarement) sur des éléments de réponse qui me semble à première vue pas vraiment complètes voici l'énoncé d'une question portant sur le théorème des milieux.

Image


Je trouve grâce au théorème des milieuxque PN = 1/2 DC et je suis tenté de démontrer que puisque P est le point milieu de BD et que MN // AB alors MP=1/2AB.

Or en fait, qu'est-ce qui me dit que AB // DC ? Pour être rigoureux j'ai l'impression que je dois le démontrer et c'est là où je coince, je connais les propriétés d'un trapèze qui dit qu'il possède deux côtés parallèles qui sont les bases mais je n'arrive pas à trouver de liens entre les éléments qu'on me donne dans l'énoncé et les propriétés que je connais pour rigoureusement prouver que AB // DC, dans la réponse du bouquin Paul Milan assume juste que dans le triangle ABD MP // AB.

Help please ! :ghee:



nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 18 Juin 2024, 02:13

Afin d'éviter d'inonder le forum de toutes les questions ultérieures que je pourrais avoir, est-ce qu'il existe un système de prof en ligne à qui je pourrais poser de façon sporadique ce genre de questions? Via whatsapp par exemple

Avatar de l’utilisateur
vam
Membre Rationnel
Messages: 557
Enregistré le: 09 Aoû 2019, 10:50

Re: Théorème des milieux

par vam » 18 Juin 2024, 08:41

Bonjour

Le simple fait que tu aies un trapèze (et puisqu'ils te font la figure, tu connais le nom des bases), tu sais que (AB) et (DC) sont parallèles. Tu as le droit de l'utiliser.

Tu peux poser ici toutes les questions que tu veux, il n'y a pas de soucis à ça. :)

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 18 Juin 2024, 15:59

vam a écrit:Bonjour

Le simple fait que tu aies un trapèze (et puisqu'ils te font la figure, tu connais le nom des bases), tu sais que (AB) et (DC) sont parallèles. Tu as le droit de l'utiliser.

Tu peux poser ici toutes les questions que tu veux, il n'y a pas de soucis à ça. :)


Merci beaucoup à toi !

mathou13
Membre Relatif
Messages: 195
Enregistré le: 08 Juin 2019, 15:52

Re: Théorème des milieux

par mathou13 » 19 Juin 2024, 17:57

Bonjour,

Dans un trapèze une des paires de cotes opposé sont parralele. Ici (AB) // (DC) .
De plus (MN)//(AB).

Avatar de l’utilisateur
capitaine nuggets
Modérateur
Messages: 3913
Enregistré le: 13 Juil 2012, 23:57
Localisation: nulle part presque partout

Re: Théorème des milieux

par capitaine nuggets » 21 Juin 2024, 01:48

Salut !

1. On veut montrer que . Pour cela, justifie à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès que les points , et sont alignés.
2. Montre alors en appliquant le théorème de Thalès sur deux triangles que et .

;)
- Merci de lire attentivement le règlement du forum.
- Comment écrire de belles formules mathématiques.
- Comment joindre une image ou un scan.



nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 23 Juin 2024, 07:16

capitaine nuggets a écrit:Salut !

1. On veut montrer que . Pour cela, justifie à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès que les points , et sont alignés.
2. Montre alors en appliquant le théorème de Thalès sur deux triangles que et .

;)


Salut,

avant tout je suis pas sûr d'avoir bien suivi ce qu'énonce le théorème de thalès sur deux triangles? Dans mon énoncé AB et MP sont supposés inconnus, on évoque même pas le parralélisme (évident je l'admet) entre AB et MP.

Je revenais sur ce post pour poser une seconde question, en géométrie analytique cette fois-ci, j'ai du mal avec cette notion

Coordonnées d'un vecteur :

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur on calcule (Xb-Xa;Yb-Ya)
Pour calculer le point milieu d'un vecteur on calcule : 1/2(Xb+Xa;Yb+Ya)


Je n'arrive pas bien à comprendre la notion de coordonnée d'un vecteur, pour un point ok, la distance entre deux points toujours ok, mais la notion de coordonnée du vecteur je n'arrive pas à appréhender la notion quelqu'un saurait brièvement me dire deux mots là dessus?

Avatar de l’utilisateur
vam
Membre Rationnel
Messages: 557
Enregistré le: 09 Aoû 2019, 10:50

Re: Théorème des milieux

par vam » 23 Juin 2024, 08:01

Quand tu es au point A et que tu veux aller au point B, tu te déplaces sur l'axe des abscisses de la quantité et suivant l'axe des ordonnées de la quantité

autre manière de voir







et là tu passes aux coordonnées, oui ?

catamat
Membre Irrationnel
Messages: 1206
Enregistré le: 07 Mar 2021, 11:40

Re: Théorème des milieux

par catamat » 23 Juin 2024, 14:37

Bonjour

Si on reste dans le concret :

En physique un vecteur représente une force que l'on décompose souvent en composante horizontale et composante verticale soit une somme de deux autres vecteurs.

L'intensité de ces deux vecteurs représente la valeur absolue des coordonnées du vecteur.

Le signe étant donné par le sens suivant celui choisi sur chaque axe.

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 25 Juin 2024, 16:26

Ok je comprends mieux maintenant !! Merci à vous !

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 25 Juin 2024, 17:50

J'ai une autre question en géométrie analytique, la géométrie a toujours été mon gros point faible je vous l'admets :gene:

cette fois-ci par rapport à mes questions précédentes je ne comprends absolument rien à ce que je fais (même si j'ai réussi à résoudre l'exercice mais sans comprendre à 100%)

ABC est un triangle.

1) Construire le point D tel que : (vecteur)AD=(vecteur)AB+(vecteur)AC
Prouver que [AD} et {BC} ont le même milieu.

2) Construire le point E tel que (vecteur)AE=(vecteur)BC
Prouver que C est le milieu de [ED}
3) Les droites (AD) et (BE) se coupent en I. Que représente I pour le triangle ABC?



1) Aucun problème, je construis le triangle ABC, choisis comme repère (A,AB,AC) de sorte que A(0,0),B(1,0),C(0,1) de là j'applique la formule du point milieu d'un vecteur à BC et AD et je trouve la même coordonnée pour BC et AD.

2) Je construis la parralèle à BC de même direction, sens et longueur partant du point A , je conclus que puisque (vecteur)AE=(vecteur)AC ils ont les mêmes coordonnées 1ère coquille, j'applique la théorie mais en réalité en suivant le dessin j'ai du mal à comprendre pourquoi ils ont les mêmes coordonnées ensuite pour prouver que C est le point milieu de (vecteur)ED j'applique la formule du point milieu au vecteur ED et je tombe sur la coordonnée de C. CQFD

3) Ici j'ai du un peu chipoter, les exercices du bouquin de Paul Milan sont naturellement en lien avec la théorie, dans la théorie de la géométrie analytique on ne parle pas de l'utilisation de l'équation cartésienne d'une droite pour par exemple définir un point I qui est l'intersection des deux droites (AD) et (BE ), j'ai donc supposé que je devais utiliser d'autres indications après de longues minutes de réflexion je n'ai pas trouvé d'autres méthodes que de calculer les droites d'équation y=x et y=-1/2x + 1/2 et de construire mon équivalence pour trouver les coordonnées du point I (1/3 ; 1/3) deuxième coquille, je sens bien qu'il y'a un lien à établir entre le centre de gravité et les coordonnées du point I que j'ai trouvé pour autant, voilà où je bloque vraiment, le dessin me donne envie de dire que la distance du vecteur AI = la distance du vecteur BI à savoir 1/3 pour autant je trouve comme solutions pour les distances respectivement (2)^1/2/3 et (5)^1/2 / 3 et je bloque je ne comprends pas vraiment le lien entre la distance du coup, les coordonnées que j'ai trouvé. J'ai finalement utilisé un détour en disant que puisque A, M(point milieu de BC) et D sont alignés il s'agissait de la médiane issue de A sur BC, et que le parallélogramme ABCE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et comme le point milieu de BE est aligné avec I et B, (BE)correspond à la médiane issue de B. J'ai le sentiment de ne pas avoir fait d'erreur fondamentale (sauf peut-être avec la notion de distance), mais j'ai vraiment le sentiment de ne pas avoir compris la matière.

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 25 Juin 2024, 17:54

Désolé les distances sont illisbles,

Avatar de l’utilisateur
vam
Membre Rationnel
Messages: 557
Enregistré le: 09 Aoû 2019, 10:50

Re: Théorème des milieux

par vam » 26 Juin 2024, 08:20

Bonjour

à mon avis ce type d'exercice est à gérer avec la notion de vecteurs et non pas avec les coordonnées;et ilest alors immédiat

(vecteur)AD=(vecteur)AB+(vecteur)AC donc ABDC est un parallélogramme
donc [AD] et [BC] ont même milieu

(vecteur)AE=(vecteur)BC donc ABCE est un parallélogramme
et vec(AB)=vec(EC)=vec(CD)
donc C est le milieu de [ED]

[BE] et [AC] se coupent en leur milieu
I est donc l'intersection de deux médianes du triangle ABC,I est donc son centre de gravité
:)

catamat
Membre Irrationnel
Messages: 1206
Enregistré le: 07 Mar 2021, 11:40

Re: Théorème des milieux

par catamat » 26 Juin 2024, 15:01

Bonjour
Vam a tout expliqué, là je veux juste reprendre certains points du message de nythostyle :

puisque (vecteur)AE=(vecteur)BC ils ont les mêmes coordonnées 1ère coquille, j'applique la théorie mais en réalité en suivant le dessin j'ai du mal à comprendre pourquoi ils ont les mêmes coordonnées


Ce qu'il faut comprendre et sont des représentants d'un même vecteur .

Donc bien sur ils ont la norme, le sens, la direction mais aussi les coordonnées du vecteur .

De la même façon que 3/4 , 600/800 sont des représentants d'un même rationnel r, ils ont donc par exemple la même développement décimal 0,75..

le point milieu de (vecteur)ED


Bon là c'est plus embêtant car un vecteur n'a pas de milieu, ce sont les segments qui ont des milieux.
Ok si l'on trace un représentant d'un vecteur à partir d'un point O on va obtenir un deuxième point et le segment formé par ces deux points a un milieu, mais on pourrait recommencer cela une infinité de fois (en changeant de point origine) tracer une infinité de représentants du vecteur et donc finalement se retrouver avec une infinité de milieux.... Donc cela n'a pas de sens de parler de "milieu d'un vecteur".

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 27 Juin 2024, 02:12

Merci à vous pour ces précisions !

Je comprends mieux maintenant la notion de "représentant" pour ce qui concerne un vecteur u.

nythostyle
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 22 Juil 2018, 18:17

Re: Théorème des milieux

par nythostyle » 27 Juin 2024, 02:59

catamat a écrit:Bonjour

Si on reste dans le concret :

En physique un vecteur représente une force que l'on décompose souvent en composante horizontale et composante verticale soit une somme de deux autres vecteurs.

L'intensité de ces deux vecteurs représente la valeur absolue des coordonnées du vecteur.

Le signe étant donné par le sens suivant celui choisi sur chaque axe.


Ce qui est triste c'est que la réponse se trouvait ici et dans le message précédent également....
Ces coordonnées représente le vecteur dans "l'absolu" cette fois ci notion maîtrisée MERCI !

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21651
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Théorème des milieux

par Ben314 » 27 Juin 2024, 11:35

Salut,
Le truc à bien comprendre, c'est qu'un vecteur, ça représente un déplacement donc ce n'est pas situé à un endroit précis du dessin, mais si on donne une position de départ (un point) alors il y a une unique position d'arrivé (un autre point) correspondant à ce déplacement là.
Des exemple de vecteurs, ça pourrait être :
- Sur une feuille de papier quadrillé, "Se déplacer de deux carreaux vers la droite et cinq carreaux vers le haut" c'est un vecteur (donné par ces coordonnées (2,5) dans un repère lié au quadrillage)
- Sur la terre (considérée comme plate), "Faire 12km dans la direction Nord-Nord-Est" c'est un vecteur (donné par sa longueur et son orientation)
Et, comme cela à déjà été dit, un vecteur, ça n'a pas de milieu, mais par contre, on peut calculer la moitié du déplacement, c'est à dire du vecteur (1 carreau à droite et 2.5 vers le haut dans le cas 1 et 6km au NNE dans le cas 2) et plus généralement, n'importe quel multiple du déplacement (3x ; 1.5x ; 0.75x, etc...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 24 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite