Théorème de Bézout

[algo1308]

Bonsoir, j'ai un exercice de mathématiques qui me pose problème. Pourriez vous m'aider svp.
Le voici :

1)Soit n un entier naturel. On pose a'=n²-n+1 et b'=n-1
Montrer que a' et b' sont premiers entre eux.
J'ai peut être trouvé une solution mais je n'en suis pas sûr.
On pose a=a'; b=b' ; u=1 et v=-n
au+bv = (n²-n+1)-n(n-1)= n²-n+1-n²+n=1
Or d'après le théorème de Bézout deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux s'il existe
deux entiers relatifs u et v tels que : au+bv=1.
Donc a' et b' sont premiers entre eux.

Je me demande juste si j'ai le droit de donner à v la valeur -n...

2)On pose a=n^3+n²-n+2 et b=n²+n-2
a) Montrer que n+2 divise a et b.

(n+2) divise a si a= (n+2)k, avec k un entier naturel ou relatif ?
a=n^3+n²-n+2=(n+2)(n²-n+1)=(n+2) b', avec (n²-n+1) un entier naturel ou relatif ? Et comment le montrer..

(n+2) divise b si b= (n+2)k, avec k un entier naturel ou relatif ?
b= n²+n-2 = (n+2) (n-1)= (n+2) a', avec (n-1) un entier naturel ou relatif ? Et comment le montrer...

b) Déterminer le pgcd de a et b.
Je pense qu'il faut utiliser à nouveau le théorème de Bézout mais je ne sais pas comment rédiger.
Car le théorème nous dit que si a et b sont premiers entre eux alors pgcd(a,b)=1
Mais comment montrer que a et b sont premiers entre eux. On sait juste que a' et b' sont premiers entre eux...


Merci beaucoup de votre aide.

[chan79]

Bonsoir, j'ai un exercice de mathématiques qui me pose problème. Pourriez vous m'aider svp.
Le voici :

1)Soit n un entier naturel. On pose a'=n²-n+1 et b'=n-1
Montrer que a' et b' sont premiers entre eux.
J'ai peut être trouvé une solution mais je n'en suis pas sûr.
On pose a=a'; b=b' ; u=1 et v=-n
au+bv = (n²-n+1)-n(n-1)= n²-n+1-n²+n=1
Or d'après le théorème de Bézout deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux s'il existe
deux entiers relatifs u et v tels que : au+bv=1.
Donc a' et b' sont premiers entre eux.

Je me demande juste si j'ai le droit de donner à v la valeur -n...

2)On pose a=n^3+n²-n+2 et b=n²+n-2
a) Montrer que n+2 divise a et b.

(n+2) divise a si a= (n+2)k, avec k un entier naturel ou relatif ?
a=n^3+n²-n+2=(n+2)(n²-n+1)=(n+2) b', avec (n²-n+1) un entier naturel ou relatif ? Et comment le montrer..

.

il suffit de vérifier que a et b s'annullent pour n=-2

[nodjim]

tu te demandes si tu as le droit d'attribuer au coeff de b la valeur -n ?
Oui, tu as le droit. Si tu cherchais le PGCD de a et b, tu diviserais a par b, le quotient te donnerait n et le reste 1.

[algo1308]

Pour le 2) a) Ma réponse est correcte ? si je dis avec k un entier relatif.

Pour le 3) a) Comment je pourrais faire en utilisant la question 1 qui montre que a' et b' sont premiers entre eux. Car je pense que les questions sont en relation..

[nodjim]

Je pensais que l'usage du théorème de Bezout était imposé, sinon, avec la division euclidienne, c'est plus rapide.

[algo1308]

D'accord merci bien :)