Tétraèdre

[Emy75]

Bonjour,
alors voilà, j'ai un exercice à faire mais il a 2 questions qui me pose problème..

Soit ABCD un tétraèdre quelconque de l'espace. On note respectivement I,J et K les centres de gravité des triangles ABC, ABD et ACD.
1/Placer les points I,J et K sur la figure.
ça, c'est bon!

2/a)Soit M un point quelconque de l'espace. Exprimer, en fonction du vecteur MI, la somme vectorielle: MA + MB + MC

Je trouve MA + MB + MC = 3MI.

b) En déduire que les vecteurs IJ et CD sont colinéaires.
ça c'est bon aussi! CD=3IJ.

3/Démontrer que les plans (BCD) et (IJK) sont parallèles.

Alors, je pense, que: le vecteur IJ appartient à (IJK)
et le vecteur CD appartient à (BCD), et comme les vecteurs IJ et CD sont colinéaires, les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles. ???

4/Soit G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD. Montrer que les droites (DI), (CJ) et (BK) sont concourantes en G. Le point G appartient-il au plan (IJK)?

Donc pour montrer que ces droites sont coucourantes en G, c'est bon, mais pour la 2ème question, c'est plus dur!
Je pense que: comme les droites (DI), (CJ) et (BK) sont concourantes en G, G est aussi le barycentre de I,J et K. Alors, G appartient au plan (IJK). ???

Merci beaucoup.

[Huppasacee]

b) En déduire que les vecteurs IJ et CD sont colinéaires.
ça c'est bon aussi! CD=3IJ.

3/Démontrer que les plans (BCD) et (IJK) sont parallèles.

Alors, je pense, que: le vecteur IJ appartient à (IJK)
et le vecteur CD appartient à (BCD), et comme les vecteurs IJ et CD sont colinéaires, les plans (IJK) et (BCD) sont parallèles. ???

cela ne suffit pas

pour que 2 plans soient parallèles, il faut que 2 vecteurs de l'un ( non colinéaires) soient respectivement perpendiculaires à 2 vecteurs de l'autre

tu as déjà CD //IJ

peux tu faire le même raisonnement pour un autre vecteur de IJK ?

( de la même manière, nous aurons ........ )

là tu auras 2 vecteurs de chaque plan

[Huppasacee]

4/Soit G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD. Montrer que les droites (DI), (CJ) et (BK) sont concourantes en G. Le point G appartient-il au plan (IJK)?

les plans BCD et IJK sont distincts

G est sur la droite DI, donc , s'il était sur IJK , où serait il sur cette droite ?
pareil pour une autre
et conclure

[Emy75]

Merci pour ces réponses Huppasacee, c'est très gentil.

Mais, pour la question 3/ je n'arrive pas à trouver d'autres vecteurs, et qui pourraient en plus m'aider à répondre à la question.

Et pour la question 4/ est-ce que DG= 2/3 DI ?

Merci beaucoup!

[Huppasacee]

Pour la question 3

prends soit IK soit JK, et trouve , grâce à ta figure , le côté du triangle BCD qui lui est // . Je n'ai pas la figure devant les yeux , mais ça doit être facile

consultation du sujet : JK //BC, je pense

tu n'as pas à refaire le raisonnement, mais dire : " de même, nous avons ....// à ...."

[Huppasacee]

Pour la 4
G est au point de concours de DI, CJ et BK

les 2 plans BCD et IJK sont distincts

Si G était dans IJK, comme il est aussi sur DI, il serait confondu avec I
pareil pour un autre droite ( CJ, il serait confondu avec J etc . ..)

il ne peut pas être confondu à la fois avec I, J et K

[Huppasacee]

Et pour la question 4/ est-ce que DG= 2/3 DI ?

ici , nous ne pouvons pas appliquer les 2/3, 1/3 comme dans un triangle