Tétraèdre

[eva]

Bonsoir à tous,

Soit ABCD un tétraèdre régulier d'arrête a.

1. Calculer, en fonction de a les produits scalaires . ,.. En déduire le calcul du produit scalaire .. Que peut-on en déduire ?

2. On note H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) .
Montrer que H est équidistant des points B, C, D.
En déduire que + + = 3.
En déduire la longueur AH en fonction de a.

3.On note I le point défini par = . Calculer les distances de I aux quatres sommets du tétraèdre.

4. Soit E et F les milieux respectifs des segments [AD] et [BC]. Montrer que 2 = + ; en déduire le calcul de la longueur EF en fonction de a.

5.Démontrer que la droite (EF) est perpendiculaire aux droites (AD) et (BC).

6.Monter que le point O, milieu de [EF], est équidistant des quatre sommets du tétraèdre.

7.Peut-on dire que O = I ?

Ce que je pense avoir trouvé...
1. . = . d'où . = 0 et les vecteurs et sont orthogonaux.

2.Par Pythagore, a² = AH² + CH²
a² = AH² + BH²
a² = AH² + DH²
d'ou CH= BH= DH

euh, après ça se complique pour moi! :triste: je sais que l'exercice est un peu long mais ce serait gentil si quelqu'un pouvait m'aider...

[becirj]

Bonjour

2. H est équidistant des points B, C et D . Le triangle BCD étant équilatéral, H est aussi le centre de gravité de BCD donc :

En déduire la longueur AH en fonction de a.

Soit M le milieu de [CD]. [BM] est la médiane d'un triangle équilatéral de côté a donc .
H étant le centre de gravité de BCD,
AHB est rectangle en H :


Je te laisse poursuivre

[eva]

Pourquoi ?

3.
En utilisant Pythagore, on constate que I est équidistant des sommets du tétraèdre.

4. Faut-il utilisaer la relation de Chasles pour trouver ? Comment puis-je déduire une longueur à partir d'une somme de vecteurs?

merci d'avance.

[becirj]

+?
+F centre de gravité de BCD puisque le triangle est équilatéral et que H en est le centre du cercle circoncscrit donc

3. D'accord pour les réponses

4. Il faut effectivement utiliser la relation de Chasles.

Pour obtenir des distances à partir des vecteurs, il faut calculer le carré scalaire de chaque membre, les vecteurs étant orthogonaux, leur produit scalaire est nul et il ne reste plus que des carrés.

[eva]

4. et , en ajoutant on retrouve


5.J'ai essayé de faire:





d'où (EF) et (BC) perpendiculaires.

même raisonnement pour montrer que

est-ce juste ?

Par contre je coince pour la question 5. et 6 ! comment montrer que O est équidistant des sommets?
N'y a t-il pas un unique point équidistant des quatre sommets d'un tétraèdre régulier? donc O = I non?

[becirj]

Pour la question 5, ta réponse me semble un peu hâtive, pourqqoi affirmes tu que la somme des 2 produits scalaires est nulle ?

Je propose :

6.Monter que le point O, milieu de [EF], est équidistant des quatre sommets du tétraèdre.

Puisque OEA est rectangle en E,


Les 3 autres distances se calculent de la même manière.

7.Peut-on dire que O = I ?

La réponse est oui, ce point est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.

Dans l'espace, il existe une spère et une seule passant par 4 points non coplanaires

[eva]

oui, désolé j'avais fais les produits scalaires mais je ne voulais pas emcombrer donc j'ai directement écrit le résultat

ah oui, Pythagore..!

merci de ton aide becirj :++:

[eva]

Dans l'espace, il existe une spère et une seule passant par 4 points non coplanaires

c'est une propriété?

[becirj]

C'est effectivement une propriété qui se démontre un peu comme on démontre qu'il existe un cercle circonscrit à un triangle en considérant les médiatrices de 2 côtés. Dans l'espace, on prend les plans médiateurs de 3 arêtes.

[eva]

oki mais sachant que cette propriété n'a pas été abordée dans mon cours, est-ce que je peux me contenter de dire qu'il n'y a un unique centre au tétraèdre? :hein:

[becirj]

oki mais sachant que cette propriété n'a pas été abordée dans mon cours, est-ce que je peux me contenter de dire qu'il n'y a un unique centre au tétraèdre? :hein:

Cela revient au même, ce n'est pas non plus une démonstration.
On peut en faire une dans le cadre de ton exercice :
O et H sont équidistants de B et C donc la droite (OH) appartient au plan médiateur de[BC], par conséquent .
De même .
La droite (OH) est orthogonale à 2 droites sécantes du plan (BCD) donc . Or, par construction, donc O appartient à (AH) et même à [AH] car O est à l'intérieur de tétraèdre.
O et I appartiennent à [AH] et AO=AI donc O et I sont confondus.

[Bertrand Hamant]

je ne comprends pas comment AI = V6/2

la longueur a n'est pas connue ?

[becirj]

je ne comprends pas comment AI = V6/2

la longueur a n'est pas connue ?

La longueur a n'est pas connue mais le tétraèdre est régulier, toutes les arêtes ont la même longueur désignée par a.

Dans le texte, I est défini par et donc