Tetraèdre

[sylvain39]

onjour pourriez vous m'aider svp
on considère un tertraèdre OABC trirectangle en o, cad tel que les triangles OAB ,OAC et OBC sont rectangle en O
soit h le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC)
on pose a=OA , b=OB,c=OC et h =OH .l'objet de ce problèmes est d'établir une relation entre h ,a,b et c

on considère le repère (O,i,j,k) ou i,j,k sont des vecteur unitaire de meme sens et direction que OA,OB et OC respectivement

1) detrmine une equation du plan (ABC) dans le repère (O,i,j,k)
2) en deduire l'existence d'un réel t tel que h ai pour coordonnée (t/a;t/b;t/c)
3) montrer que 1/t= 1/a² + 1/b² + 1/c²
4) montrer que h² =t

[Sphinx]

Ce tétraèdre est un peu comme un repère orthogonal.
OA=ai
OB=bj
OC=ck
M est sur le plan (ABC) s'il existe deux réels k et l tels que AM=kAB+lAC.
Alors A est le barycentre de (M,1),(B,-k),(C,-l).
(x-a,y,z)=k(-1,1,0)+l(-1,0,1)
Donc x=-k-l+a
y=k
z= l
u(-1,1,0) et v(-1,0,1) sont deux vecteurs directeurs de (ABC).
Cherche un vecteur orthogonal aux deux vecteurs en même temps et tu auras un vecteur w normal au plan,donc dirigeant la droite (OH)
Ainsi H est dans (ABC) et (OH) est colinéaire à w.
Dans l'espoir de t'avoir un peu aidé,ciao et bonne continuation!