Tétraèdre et angles (géométrie spatiale)

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes
Je ne suis qu'en 1ère S et je ne pourrai donc pas participer à la discussion vu mon peu de connaissances en la matière (ce chapitre fait partie du programme de Terminale) mais je la suivrai

Géométrie dans un espace à trois dimensions :

Soit O un point de l'espace
Soient A;B;C;D 4 points de l'espace tels que :
-Les points sont équidistants de O
-Les distances entre tous les points sont maximales
-Tous les angles formés sont égaux

Quelle est la valeur d'un de ces mêmes angles ?

Merci

(P.S : Cette question est inspirée de la géométrie moléculaire ...)

[imaginelle]

Bonjour à tous et à toutes
Je ne suis qu'en 1ère S et je ne pourrai donc pas participer à la discussion vu mon peu de connaissances en la matière (ce chapitre fait partie du programme de Terminale) mais je la suivrai

Géométrie dans un espace à trois dimensions :

Soit O un point de l'espace
Soient A;B;C;D 4 points de l'espace tels que :
-Les points sont équidistants de O
-Les distances entre tous les points sont maximales
-Tous les angles formés sont égaux

Quelle est la valeur d'un de ces mêmes angles ?

Merci

(P.S : Cette question est inspirée de la géométrie moléculaire ...)

bonjour,
équidistants signifie égaux donc tu dois avoir ao=bo=co=do
Pour qu'il soit à une distance maximale il faut que tes points soit opposés deux à deux
Les détails donnés peuvent nous faire pensé à un cercle (ou une boule dans l'espace) de centre O et de distance AO avec tous tes points sur le cercle.
Prend une feuille trace ton cercle ton point O au centre et essaye de mettre les points le plus loin les uns des autres. Tu verras directement à vu d’œil la tête de tes angles.
J'espère avoir été claire n'hésite à demander plus d'explication dans le cas contraire.

Bon courage

[siger]

Bonjour,
les points sont evidement sur une sphere et forment un tetreadre regulier si tous les angles sont egaux

Les faces sont equilaterales et leurs angles connus...
les angles des rayons joignant le centre aux differents points se calculent a partir de la position du centre sur une hauteur (AH) H etant le centre de gravité de la base BCD
on obtient des angles egaux definis par (alpha) = arctan(-1/3)

[chan79]

Bonjour,
les points sont evidement sur une sphere et forment un tetreadre regulier si tous les angles sont egaux

Les faces sont equilaterales et leurs angles connus...
les angles des rayons joignant le centre aux differents points se calculent a partir de la position du centre sur une hauteur (AH) H etant le centre de gravité de la base BCD
on obtient des angles egaux definis par (alpha) = arctan(-1/3)

Salut
J'arrive à soit environ 109,47°

à vérifier

[siger]

Salut
J'arrive à soit environ 109,47°

à vérifier

mille excuses : une erreur de plume m' a fait ecrire arctan (-1/3) au lieu de arccos(-1/3)!!!!
on a effectivement
2*sin^2 (a) = 1 - cos(2a) = 1 + 1/3 = 4/3 = 12/9
ou sin(a) = V6/3
et alpha = 2*arcsin(V6/3) = arccos(-1/3)

[upium666]

Salut
J'arrive à soit environ 109,47°

à vérifier

Je pense que c'est la bonne réponse car les physiciens estiment l'angle à 109° !
(c.f Géométrie d'une molécule tétraédrique)

Comment y êtes-vous arrivé ?

Algébriquement ?!

[upium666]

mille excuses : une erreur de plume m' a fait ecrire arctan (-1/3) au lieu de arccos(-1/3)!!!!
on a effectivement
2*sin^2 (a) = 1 - cos(2a) = 1 + 1/3 = 4/3 = 12/9
ou sin(a) = V6/3
et alpha = 2*arcsin(V6/3) = arccos(-1/3)

Effectivement

Comment y êtes-vous arrivé ?
(D'où avez-vous sorti vos formules magiques ? :p )

[siger]

Effectivement

Comment y êtes-vous arrivé ?
(D'où avez-vous sorti vos formules magiques ? :p )

Dans le tetraedre on a (en vecteurs) OA + OB + OC + OD = 0
soit encore OA + 3OK + KB + KC + KD = OA + 3OH = 0 puisque K pied de la hauteur issue de A est le centre de gravité du triangle BCD
d'ou |OK| = |OA|/3 = R/3 si R est le rayon de la sphere
Dans ce triangle la distance BK est egale au 2/3 de la hauteur c'est a dire a BC/V(3) puisque le triangle est equilateral donc BK = a/V(3) si a est l'arete du tetraedre
Maintenant dans le triangle BOK on a
BK² + OK² = BO² soit encore R² = R²/9 + a²/3 d'ou a²/R² = 8/3
Dans le triangle OBC (avec I milieu de BC) on a
sin (IOB) = (IB/OB) = (a*R/2) = V(a²*R²/4) = V(2/3)
finalement sin(IOB) = V(6)/3
.....

[chan79]

Je pense que c'est la bonne réponse car les physiciens estiment l'angle à 109° !
(c.f Géométrie d'une molécule tétraédrique)

Comment y êtes-vous arrivé ?

Algébriquement ?!

ci-dessous la coupe selon un plan vertical qui passe par deux sommets et O.


BE =

BH=

sinus de l'angle bleu:
l'angle rouge est

l'angle demandé est le double soit
soit environ 109,47 °