TES, limites

[laurette90]

Bonjour,
J'ai un DM à faire sur les limites, mais je n'arrive pas à trouver une limite et ca m'empeche de faire la suite de l'exercice :
il faut que je trouve la limite de f(x)= x+50+ \frac{1200x+50}{x²}quand x tend vers +;)
J'ai trouver :
\lim_{x \to+;)} x+50=+;)

\lim_{x \to+;)} 1200x+50=+;) et \lim_{x \to+;)}x²=+;)

mais je bloque sur \lim_{x \to+;)} (1200x+50)/(x²)= ?
(car d'après mon raisonnement je devrait trouver un quotient de limite mais un quotient de deux +;) c'est une lim indéterminée)

[Sylviel]

il faut séparer ton quotient en somme de 2 quotient, et tu pourras trouver la limite de chacun !

[laurette90]

(1200x+50)/x²= 1200x/x²+ 50/x²= 1200x+ 50/x²

lim 1200/x= 0
x->+;)
lim 50/x² = 0
x->+;)

Donc lim 1200x+50/x²= lim(1200x+50)/x²=0
et lim x+50+(1200x+50)/x²=+;)

[Sylviel]

Oui.

pour les fractions rationelles (quotient de polynome) il faut retenir que ce qui importe c'est uniquement le plus haut degré de chaque polynome pour déterminer la limite. Pour le démontrer il suffit de factoriser par x^le plus haut degré.

Exemple :
a et a' différents de 0

(ax³+bx²+cx+d)/(a'x²+b'x+c')=x³/x²*(a+b/x+c/x²+d/x³)/(a'+b'/x+c'/x²)
or b/x+c/x²+d/x³ -> 0 (en l'oo)
b'/x+c'/x² -> 0 donc la limite est celle de x*a/a'.

Tu remarqueras qu'on peux faire exactement pareil avec d'autres dégrés...

[laurette90]

Merci pour votre aide,
effectivement j'ai vu le theorème sur la limite d'une fonction rationnelle en cours mais je n'ai pas penser à l'utiliser...

Du coup je peux modifier ma rédaction par :
lim x+50=+oo ,

lim (1200+50)/x²=lim 1200x/x²=lim 1200/x=0 (comme limite d'une fonction rationnelle)
donc lim x+50+(1200+50)/x²=+oo (comme somme de limites)

[Sylviel]

oui c'est tout bon (sauf un petit oubli de x dans ta rédaction)

[laurette90]

oui c'est tout bon (sauf un petit oubli de x dans ta rédaction)

oui : (1200x+50)