Terminales : nombres complexes

[blaise60]

Bonjour, voici l'énoncé d'un dm de maths que je ne parviens pas à résoudre entièrement :

dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) on considère les points A(-1+2i), B (1+3i) et C(4i)

1. Montrer que ABC est isocèle en A

2 Soit I le milieu de [BC] et z(I) son affixe
a) quel est l'ensemble des points M du plan distincts de A(a) dont l'affixe z est telle que (z-z(I))/(z-a) soit un réel ?
b) déterminer l'unique réel x tel que (x-z(I))/(x-a) soit un réel
c) soit z(AI) l'affixe du vecteur AI, donner une fomre trigonométrique de z(AI)

3. a) soit G(-3). Montrer qu'il existe deux rotations de centre G dont on déterminera les angles telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels.
b) soit r(1) la rotation de centre G et d'angle de mesure -pi/4, Déterminer l'écriture complexe de r(1)

4. Soient A', B' et C' les images respectives de A, B , C par la rotation r(1) , soient a', b' et c' leurs affixes.
Quelle est l'image par r(1) de l'axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que b' = c'* avec c'* le conjugué de c'.

Voici donc ce que j'obtiens :
1) AB = | b-a| = |1 + 3i + 1 - 2i | = V(2²+1²) = V5
AC = |c-a| = |4i +1 -2i | = V5
AB = AC donc ABC isocèle en A

2) a)soit Z =(z-z(I))/(z-a)
pour tout z ;) a et z ;) z(I)
Z est un réel <=> arg (Z) = 0 ou Z = 0
<=> arg (z(IM))/(z(AM)) = 0 ou z-z(I) =0
<=> (AM;IM) = 0 ou z = z(I)
<=> (AM;IM) = 0 ou M= I
<=> M appartient à la droite (AB) privée de A

b) par contre à partir d'ici je bloque
en calculant z(I) je trouve z(I) = 1/2 +7i/2
ce qui fait que (x-z(I))/(x-a) = (x-1/2-7i/2)/(x+1-2i)
= (x-1/2-7i/2)(x+1+2i) / (x+1-2i)(x+1+2i)
= (x² + x + 2ix - x/2 -1/2 -i -7ix/2 -7i/2 -7i) /((x+1)²+4)
= ((x-1/4)² -(1/4)² +i(2x-7x/2-7/2-7) -1/2 ) / ((x+1)²+4)
Soit Z = (x-z(I))/(x-a) donc X = ((x-1/4)²-(1/4)² -1/2)/((x+1)²+4)
par contre, à partir d'ici je bloque cra je trouve un équation de cercle et non un point !

c) z(AI) = 1/2 +7i /2 +1 -2i = 3/2 +3i/2 : est ce le bon résultat ?

3.a)écriture complexe de la rotation donne : z' - g = eit (z - g) avec t l'angle de rotation
donc pour A : a' - g = eit (a - g)
soit a' + 3 = eit (- 1 +2i +3) donc a'= eit (2+2i) + 3 donc x = eit (2+2i) + 3 puique a réel
par contre là je bloque, je ne parviens à ma débrouiller pour obtenir t

b) z'- g = eit (z-g)
z' = eipi/4(z+3) -3

4. pour a' je trouve a' = 2V2 -3
b' = 7V2 / 2 -3 +i(-V2/2)
et c' = 7V2 / 2 -3 +i(1/2V2)
ce qui me semble compliqué ...
Merci d'avance !

[XENSECP]

Désolé c'est trop long à lire pour moi ^^