Exercice 1 :
Tangentes à l’hyperbole
Soit H la courbe de la fonction f définie sur IR* par f(x)=1/x
Première partie : un cas particulier
Soit le point A de H, d’abscisse 4.
Déterminer l’équation de D, tangente à la courbe H passant par A.
Soit I le point d’intersection de D avec l’axe (Ox).Déterminer les coordonnées de I.
Soit J le point d’intersection de D avec l’axe (Oy). Déterminer les coordonnées de J.
Calculer les coordonnées du milieu de [IJ].
Deuxième partie : le cas général
Soit un point A quelconque de H, d’abscisse a.
Déterminer l’équation de D, tangente à la courbe H passant par A.
Soit I le point d’intersection de D avec l’axe (Ox). Déterminer les coordonnées de I en fonction de a
Soit J le point d’intersection de D avec l’axe (Oy). Déterminer les coordonnées de J en fonction de a
Démontrer que, quelque soit la valeur de a , A est le milieu de [IJ].
Voila ce que j'ai trouvé pour l'instant:
Soit H la courbe de la fonction f définie sur R* par f(x) = 1/x
première partie:
soit le point A de H, d'abscisse 4
A appartient à H
A (4;a)
Calcul des coordonnées de A:
f(4)= 1/4= 0.25
A(4;0.25)
Tangente à la courbe H de f au point d'abscisse a
y= f'(a) (x-a) + f(a)
a = 4, f(x)= 1/x, f'(x)=-1/x²
y= f'(4) (x-4)+ f(4)
=-1/4² (x-4) +1/4
= -1/16(x-4)+1/4
=-1x/16 + 1/4 +1/4
=-x/16 +2/4
= -x/16 +
16= -x+8/16
Soit I le point d'intersection de D avec l'axe des absicces:
On résout le système:
y=-x+8/16
y=0
-x+8/16=0 >-x/16 +8 /16 = 0 >-x/16=-8/16
> -x=-8/16 *16 > -x = -128/16 > -x=-8 > x=8
I (8;0)
Soit J le pt d'intersection de D avec l'axe des ordonnées
On résout le système:
y=-x+8/16
x=0
y=0+8/16
x=0
y=8/16
x=0
y=1/2
x=0
Donc J (0;1/2)
Calcul des coordonnées du milieu de [IJ] qu'on appellera G
xG= xI+xJ/2 yG= yI +yJ/2
=4 = 0.25
G(4;0.25)
2ème partie : le cas général
f(x)= 1/x
A (a;f(a)
A(a;1/a)
équation de tangente:
y=f'(a) (x-a) + f(a)
f'(x)= -1/x²
D: y = -1/a² (x-a) +1/a
=-x/a² +a/a² +1/a
= -x+a/a²+1/a
I= D(inter) (Ox)
I vérifie:
-x+a/a² +1/a= 0
-x+a/a² = -1/a
-x/a² +a/a² = -1/a
-x/a² = -1/a - a/a²
-x=-1/a - a/a² *a²
-x= -1/a - ae3/a²
-x=-1/a - a
x=1/a + a
donc I (1/a + a;0)
J= D(inter) (Oy)
On va résoydre le système:
y= -x+a/a² +1/a
x= 0
y=-0+a/a² +1/a
x= 0
y= a/a² +1/a
x= 0
y= a +1/a
x= 0.
Donc J(0;1/a +a)
Voilà, je vous remercie d'avance pour votre aide, afin de me dire où j'ai commis des erreurs, et comment faire pour résoudre la dernière question qui est : Démontrer que, quelque soit la valeur de a, A est le milieu de [IJ], sachant que je pense qu'il faut se servir des coordonnées trouvées de I et de J (si elle sont bonnes) mais je n'en suis pas certain.
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