DM en Terminale ES : LN(x)

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 19:25

Bonsoir tout le monde !

Mon Devoir Maison porte sur l'étude d'une fonction : f(x) = ln(x² + 4x + 3) définie sur ] - 1 ; + infini [

1 - Je dois déterminer sa limite en + infini puis lorsque x tend vers - 1.
Dois-je procéder par composé ? Si oui, je trouve quand x tend vers + inf : f(x) = + inf . Pour x tend vers -1 : f(x) = -infini.

2 - Calculer la dérivée de f. Il faut faire f(x) = ln(u(x)) ?
Etudier le signe de f' sur ] - 1 ; + infini [
Dresser le tableau de variation de f.

Voilà, si vous pouvez déjà me dire si ce que j'ai fais est bon.
Merci.

par **XENSECP** » 27 Jan 2009, 19:39

Parizio a écrit:Bonsoir tout le monde !

Mon Devoir Maison porte sur l'étude d'une fonction : f(x) = ln(x² + 4x + 3) définie sur ] - 1 ; + infini [

1 - Je dois déterminer sa limite en + infini puis lorsque x tend vers - 1.
Dois-je procéder par composé ? Si oui, je trouve quand x tend vers + inf : f(x) = + inf . Pour x tend vers -1 : f(x) = -infini.

2 - Calculer la dérivée de f. Il faut faire f(x) = ln(u(x)) ?
Etudier le signe de f' sur ] - 1 ; + infini [
Dresser le tableau de variation de f.

Voilà, si vous pouvez déjà me dire si ce que j'ai fais est bon.
Merci.

Décidément t'as du mal avec le ln

Ta dérivée ça donne quoi ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 19:40

oui c'est à peu près sa, enfin j'en suis quasiment sur.
Sinon pour la dérivée, c'est bien une composé, et la dérivée de ln(u(x))= u'(x)/u(x)

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 19:42

Lol oui assez avec les LN.

Donc pour la dérivée j'ai fais :
- f(x) = ln( u(x) ) avec u(x) = x²+4x+3 et sa dérivée = 2x + 4
- f'(x) = ln( u'(x) ) / u(x)
Ce qui me donne ln(2x+4/x²+4x+3)
Je sais pas si j'ai procédé comme il le fallait avec la formule...

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 19:43

bobdu67 a écrit:oui c'est à peu près sa, enfin j'en suis quasiment sur.
Sinon pour la dérivée, c'est bien une composé, et la dérivée de ln(u(x))= u'(x)/u(x)

Oui, c'est ce que j'ai utilisée pr la dérivée.
Mes limites et ma dérivées sont donc correctes ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 19:49

non tu n'a pas utilisé ce que je t'ai donné pour la dérivée, relis plus attentivement

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 19:52

Le ln doit disparaitre au resultat final ? pk ?

Ca donne donc f'(x) = 2x + 4 / x² +4x + 3 ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 19:54

voila, ben c'est le cour, c'est pas moi

sinon pour les limites, tu peut me dire comment tu les a trouvées

non c'est bon, inutile, c'est juste

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 20:00

bobdu67 a écrit:voila, ben c'est le cour, c'est pas moi

sinon pour les limites, tu peut me dire comment tu les a trouvées

non c'est bon, inutile, c'est juste

Ah oui je vois la formule, merci.
Pour les limites j'ai procédé par composée avec comme fonction u(x) = x² + 4x + 3 et ln(X). Puis j'ai déterminé leurs limites en + infini et en -1 par COMPOSE.

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 20:04

oui je vois, c'est juste. Bonne chance pour la suite

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 20:08

Là je bloque sur une question, on me demande de montrer que la courbe C (représentée par la fonction f(x)) coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abdscisse Alpha ?
Comment procéder ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 20:18

tu doit utilisé le théorème des valeurs intermédiaires

tu montre que toutes les conditions sont satisfaites, puis tu applique le théorème et tu conclus

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 20:27

Les conditions je les ai via un tableau de signe fais juste avant.
Appliquer le théorème de la valeur intermédiaire ? Je résous donc f(x) = Alpha ?

Ce théorème je pensais l'utiliser à la question suivante où on me demande de "montrer que Alpha appartient a l'intervalle [ -0.8 ; 0 ] puis donner un encadrement ..." ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 20:43

oui peut être, sinon tu peut le démontrer aussi par continuité de la fonction f.

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 20:49

C'est à dire ?
Comme f(x) est croissante sur ]-1;+inf[ , sa courbe Cf passe forcément par l'axe des abscisses au point Alpha ?
Quand je fais le raisonnement pour le théorème en question là, je dis que "Puisque Alpha appartient a l'intervalle image..." ? C'est que comme c'est pas une valeur exacte j'ai du mal à me l'imaginer lol...

Edit : Donc pour la question sur le point ou C coupe l'axe des Abscisses, je fais f(x) = Alpha ac le TVI et pour l'autre question je fais aussi TVI mais sur un autre intervalle ?

par **bobdu67** » 27 Jan 2009, 20:59

tu a calculé la dérivée de f, cette dérivée est strictement positive, cela signifie que la courbe en question est strictement croissante, donc comme f est croissante sur -1,+inf et (trés important) f est continue sur ce même intervalle, elle passe forcement par 0. Pourquoi f est continue ? parce que f est dérivable, mais attention, la réciproque est fausse ! une fonction continue n'est pas forcement dérivable.

par **LeFish** » 27 Jan 2009, 21:01

C'est en fait le théorème de la bijection réciproque :

f est continue et strictement ( croissante ou décroissante ) sur [a;b] , f est une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)] . Comme 0

[f(a);f(b)] , alors il existe un unique réel alpha tel que f(alpha) = 0 .

Tu peux changer les parenthèses , tu peux changer 0 ( prendre par exemple 1 ( tout en vérifiant que c'est bien dans l'intervalle ^^ )

Après pour l'encadrement tu regardes avec ta calculette le graphe de la fonction pour quelle absicsse Environ la courbe s'annule .
Par ex si tu vois que ca s'annule entre 2 et 3 , tu peux dire que 2 < alpha < 3 , ( en disant que f(2) < 0 < f(3) ) , et après tu peux faire plus précis .

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 21:08

LeFish a écrit:C'est en fait le théorème de la bijection réciproque :

f est continue et strictement ( croissante ou décroissante ) sur [a;b] , f est une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)] . Comme 0 [f(a);f(b)] , alors il existe un unique réel alpha tel que f(alpha) = 0 .

Tu peux changer les parenthèses , tu peux changer 0 ( prendre par exemple 1 ( tout en vérifiant que c'est bien dans l'intervalle ^^ )

Après pour l'encadrement tu regardes avec ta calculette le graphe de la fonction pour quelle absicsse Environ la courbe s'annule .
Par ex si tu vois que ca s'annule entre 2 et 3 , tu peux dire que 2 < alpha < 3 , ( en disant que f(2) < 0 < f(3) ) , et après tu peux faire plus précis .

J'ai jamais entendu parler du théorème de la bijection réciproque... Mais je comprends le raisonnement. Je fais donc f(Alpha) = 0 ? Cependant mon intervalle est ] -1 ; +inf [ et je trouve que l'intervalle image est ] 0 ; + inf [ Et donc là 0 n'appartient pas a l'intervalle image car c'est 0 exclu...

par **LeFish** » 27 Jan 2009, 21:35

avec la calculette je remarque que l'intervalle image n'est pas ]0 ; +inf [ ^^

par **Parizio** » 27 Jan 2009, 22:16

LeFish a écrit:avec la calculette je remarque que l'intervalle image n'est pas ]0 ; +inf [ ^^

Ah oui effectivement :marteau: c'est ] - inf ; + inf [ c'est ça ? En plus je l'ai calculé pour mon tableau de variation lol.
La conclusion du théoréme ça donne : "Puisque 0 appartient à l'intervalle image... donc fx admet une unique solution Alpha sur l'intervalle... Donc C coupe l'axe des abscisses au point Alpha !

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